Для ступенчатого бруса построить эпюры
Построение эпюр продольных сил — формулы, условия и примеры решения задач
Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.
Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.
Но всему свое время. Сначала немного о терминах.
Основные понятия
Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.
Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.
Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.
Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.
В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).
Что такое эпюра продольных сил
Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.
Как построить эпюру продольных сил
Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.
Сопротивление рассчитывается по формуле:
где:
Fl – действующие на участке l силы (Н);
ql – распределенные нагрузки (Н/м).
Порядок построения:
1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;
2. Производится разделение на участки;
3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:
Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;
4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.
Рис. 1. Эпюра продольных сил
Рассмотрим случай:
F1 = 5 (кН);
F2 = 3 (кН);
F3 = 6 (кН).
Вычислим:
Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.
Пример построения эпюр и решения задач
Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):
Рис. 2
Дано:
Решение.
Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:
Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.
Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.
По полученным данным строим эпюру (рис. 3).
Рис. 3
Заключение
Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.
В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.
Источник
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса | Интерактивное сообщество — Решение задач по инженерной графике
Двух ступенчатый стальной брус нагружен силами:
F1=20 кН; F2=10 кН; F3=5 кН.
Площади поперечных сечений бруса: A1=1,8 см2; A2=3,2 см2.
a=0,2 м. Принять E=2х100000 Н/мм2, [σ]=160 МПа.
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение конца бруса.
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса
Оцените сложность задачи:
0 голосов, средняя сложность: 0.0000
Решения задачи
Двух ступенчатый стальной брус нагружен силами: F1=20 кН; F2=10 кН; F3=5 кН. Площади поперечных сечений бруса: A1=1,8 см2; A2=3,2 см2. a=0,2 м. Принять E=2х100000 МПа, [σ]=160 МПа. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений. Определить перемещение конца бруса.
Двух ступенчатый стальной брус нагружен силами: F1=20 кН; F2=10 кН; F3=5 кН. Площади поперечных сечений бруса: A1=1,8 см2; A2=3,2 см2. a=0,2 м. Принять E=2х100000 Н/мм2. Построить эпюры нормальных сил и напряжений по длине бруса. Определить перемещение конца бруса.
Брус закреплен в стене — закрепление заделка. Сечения бруса круглой формы
$ S = frac{πd^{2}}{4} $
Находим диаметры ступеней бруса.
$ d = sqrt{frac{4S}{π}} $
$ d_{1}=15,14 мм; d_{2}=20,19 мм $
Делим брус на участки нагружения (части бруса
между внешними силами) — участки 1, 2 и 3.
Используем метод сечений для определения
внутренних силовых факторов, действующих на каждом
участке (при этом внутренние силы переходят в разряд
внешних):
Участок 1. Проецируем силы действующие на участок на ось х и составляем уравнение равновесия
$ ΣF_{x} = 0; -F_{3}+N_{1}=0; N_{1}=F_{3}=5 кН $
Продольная сила N1 положительна. Участок 1 сжат.
Участок 2. Проецируем силы действующие на участок на ось х и составляем уравнение равновесия
$ ΣF_{x} = 0; -F_{3}-F_{2}+N_{2}=0; N_{2}=F_{3}+F_{2}=5+10=15 кН $
Продольная сила N2 положительна. Участок 2 сжат.
Участок 3. Проецируем силы действующие на участок на ось х и составляем уравнение равновесия
$ ΣF_{x} = 0; -F_{3}-F_{2}+F_{1}+N_{2}=0; N_{3}=5+10-20=-5 кН $
Продольная сила N3 отрицательна. Участок 3 растянут.
Определяем величины нормальных напряжений по сечениям с учетом изменения площади поперечного сечения. Четыре участка по напряжениям:
$ σ_{1} =frac{N_{1}}{A_{1}}=frac{5×10^{3}}{1,8×100}=27,8 frac{Н}{мм^{2}}=27,8 МПа $
$ σ_{2} =frac{N_{2}}{A_{1}}=frac{15×10^{3}}{1,8×100}=83,3 МПа $
$ σ_{3} =frac{N_{2}}{A_{2}}=frac{15×10^{3}}{3,2×100}=46,9 МПа $
$ σ_{4} =frac{N_{3}}{A_{2}}=frac{5×10^{3}}{3,2×100}=15,6 МПа $
Строим эпюры продольных сил и эпюру нормальных напряжений, полагая растягивающие напряжения положительными.
Эпюра продольных сил показывает изменение внутреннего силового фактора по длине бруса: участки I, II и III испытывают деформацию сжатия; участок IV испытывает деформацию растяжения.
Эпюра нормальных напряжений показывает их изменение по длине бруса. Наиболее
опасным участком является участок II. Так как нормальные напряжения на нем максимальны по величине σII=83,3 МПа
Проверяем прочность бруса работающего на растяжение — сжатие:
по условию прочности $ |σ_{max}=83,3 МПа|≤[σ=160 МПа] $
Прочность обеспечена.
На каждом участке определяем абсолютную деформацию (удлинение или сжатие):
$ ∆ℓ_{1} = frac{σ_{1}L_{1}}{E}=frac{-27,8×10^{3}×0,2}{200×10^{3}}=-0,028 мм $
$ ∆ℓ_{2} = frac{σ_{2}L_{2}}{E}=frac{-83,3×10^{3}×0,2}{200×10^{3}}=-0,083 мм $
$ ∆ℓ_{3} = frac{σ_{3}L_{3}}{E}=frac{-469×10^{3}×0,4}{200×10^{3}}=-0,094 мм $
$ ∆ℓ_{4} = frac{σ_{4}L_{4}}{E}=frac{156×10^{3}×0,2}{200×10^{3}}=0,016 мм $
Суммарное удлинение бруса (перемещение свободного конца)
$ ∆ℓ=∆ℓ_{1}+∆ℓ_{2}+∆ℓ_{3}+∆ℓ_{4}=-0,189 мм $
Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь
Источник
Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами
Примеры решения задач
Ступенчатый брус нагружен вдоль
оси двумя силами. Брус защемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом
бруса, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Рис. 20.6 Перемещения поперечных сечений брусьев в статически определимых
задачах
Решение
Определяем
участки нагружения, их два.
Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.
Строим
эпюру.
Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим
эпюру нормальных
напряжений в собственном произвольном масштабе.
1. Определяем продольные
силы.
Сечение 1.
– N1 + F1 = 0; N1 = F1 = 100 кН.
Сечение 2. — 80 — N2 + 100 = 0; N2 = 100
— 80 = 20 кН.
В обоих сечениях продольные силы положительны.
2.
Определяем нормальные напряжения .
Сопоставляя участки нагружения с границами изменения
площади, видим, что образуется 4 участка напряжений. Нормальные напряжения в сечениях
по участкам:
; ;
;
.
Откладываем значения напряжений
вверх от оси, т. к. значения иx положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной
силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр
и имеющегося на листе места.
Растяжение и сжатие.
Продольные
и поперечные деформации.
Закон Гука
Иметь представление о продольных
и поперечных деформация! и их связи.
Знать закон Гука, зависимости и формулы
для расчета напряжений и перемещений.
Уметь проводить расчеты на прочность
и жесткость статически определимых брусьев при растяжении и сжатии.
Деформации
при растяжении и сжатии
Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной
силы F (рис. 21.1).
Рис. 21.1 | Начальные размеры бруса: lo – начальная длина, ао — начальная ширина. Брус При сжатии выполняется соотношение Δl < 0; Δа В сопротивлении материалов принято рассчи- |
тывать
деформации в относительных единицах:
;
ε — относительное удлинение;
;
ε’ – относительное сужение.
Между продольной и поперечной деформациями
существует зависимость
ε’ = με,
где μ — коэффициент
поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, -характеристика пластичности
материала.
Закон Гука
В пределах упругих деформаций деформации прямо
пропорциональны нагрузке:
F = kΔl,
где F — действующая нагрузка;
k — коэффициент.
В современной форме:
;
.
Получим зависимость σ=Eε,
где Е — модуль упругости, характеризует жесткость материала.
В пределах
упругости нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению.
Значение
Е для сталей в пределах (2÷2,l) • 105 МПа.
При прочих равных условиях,
чем жестче материал, тем меньше он деформируется:
.
Формулы
для расчета перемещений поперечных
сечений бруса при растяжении и сжатии
Используем
известные формулы.
Закон Гука σ=Eε.
Откуда .
Относительное удлинение .
В результате получим зависимость между нагрузкой,
размерами бруса и возникающей деформацией:
;
;
или ,
где Δl — абсолютное удлинение,
мм;
σ — нормальное напряжение, МПа;
/ — начальная длина, мм;
Е
— модуль упругости материала, МПа;
N — продольная сила, Н;
А — площадь
поперечного сечения, мм2;
Произведение АЕ называют жесткостью сечения.
Выводы
Абсолютное
удлинение бруса прямо пропорционально вели
чине продольной силы в сечении,
длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.
Связь
между продольной и поперечной деформациями завис
от свойств материала, связь
определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации.
Коэффициент
Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0: у резины μ
= 0,5.
3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют
на
работоспособность детали; при необходимости поперечная деформация рассчитывается
через продольную.
; ; откуда Δа = ε’а0 ,
где
Δа — поперечное сужение, мм; ао — начальный поперечный размер, мм.
4.
Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях
на растяжение по диаграмме растяжения (рис. 21.2).
Рис. 21.2 | При работе пластические деформации не должны возникать, упругие деформации На |
5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой
(не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.
Примеры
решения задач
Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис.
21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.
Решепие
1.
Брус ступенчатый, поэтому следует построить эпюры продольных сил и нормальных
спряжений.
Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы,
строим эпюру продольных сил.
2. Определяем величины нормальных напряжений
по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.
Строим эпюру
нормальных напряжений.
3. На каждом участке определяем абсолютное удлинение.
Результаты алгебраически суммируем.
Примечание. Балка защемлена, в заделке
возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца
(справа).
1. Два участка нагружения:
участок 1: N1 = + 25 кН; растянут;
участок
2: 25 – 60 + N2 = 0; N2 = — 35 кН; сжат.
2. Три участка по напряжениям:
;
;
; ; ; 3. Удлинения участка (материал ; ; ; 4. Суммарное удлинение Δl = Δl2 + Δl3 ; Δl |
Рис. 21.3 |
Источник
Примеры построения эпюры продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а).
Делим брус на участки нагружения.
Участком нагружения считают часть бруса между внешними силами.
Тема 2.2. Растяжение и сжатие 177
На представленном рисунке 3 участка нагружения. Воспользуемся методом сечений и определим внутренние силовые факторы внутри каждого участка.
Расчет начинаем со свободного конца бруса, чтобы не определять величины реакций в опорах.
Участок 1: ∑ Fz = 0; —3F + N 1 = 0; N 1 = 3F. Продольная сила положительна, участок 1 растянут.
Участок 2: ∑ Fz = 0; -3F + 2F + N 2 = 0; N 2 = F . Продольная сила положительна, участок 2 растянут.
Участок 3: ∑ Fz= 0; -3F + 2F + 5F — N3 = 0; N 3 = 4F . Продольная сила отрицательна, участок 3 сжат. Полученное значение N 3 равно реакции в заделке.
Под схемой бруса строим эпюру продольной силы (рис. 20.26).
Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.
Ось эпюры параллельна продольной оси.
Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные — вверх, отрицательные — вниз. В пределах одного участка значение силы не меняется, поэтому эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz .
Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину приложенной силы.
178 Лекция 20
На эпюре проставляются значения Nz . Величины продольных сил откладывают в заранее выбранном масштабе.
Эпюра по контуру обводится толстой линией и заштриховывается поперек оси.
Изучая деформации при растяжении и сжатии, обнаруживаем, что выполняются гипотеза плоских сечений и принцип смягчения граничных условий.
Гипотеза плоских сечений заключается в том, что поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси.
Следовательно, продольные внутренние волокна удлиняются одинаково, а внутренние силы упругости распределены по сечению равномерно.
Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.
Напряжения при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение.
Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.
Таким образом, направление и знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в сечении (рис. 20.3).
Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение можно рассчитать по формуле
где Nz— продольная cила в сечении; А — площадь поперечного сечения.
Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.
Нормальные напряжения действуют при растяжении от сечения (рис. 20.4а), а при сжатии к сечению (рис. 20.46).
Тема 2.2. Растяжение и сжатие 179
Размерность (единица измерения) напряжений — Н/м2 (Па), однако это слишком малая единица, и практически напряжения рассчитывают в Н/мм2 (МПа):При определении напряжений брус разбивают на участки нагружений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений.
Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.
Строится и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра продольных сил.
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси (рис. 20.5).
Обнаруживаем три участка нагружения и определяем величины продольных сил.
Участок 1: N 1 = 0. Внутренние продольные силы равны нулю.
Участок 2: N 2= 2F . Продольная сила на участке положительна.
Участок 3: N3= 2F-3F = — F . Продольная сила на участке отрицательна.
Брус — ступенчатый. С учетом изменений величин площади поперечного сечения участков напряжений больше.
Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Масштабы эпюр могут быть разными и выбираются исходя из удобства построения.
180 Лекция 20
Примеры решения задач
Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами. Брус защемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом бруса, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Решение
1. Определяем участки нагружения, их два.
2. Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.
3. Строим эпюру.
4. Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим эпюру нормальных напряжений в собственном произвольном масштабе.
1. Определяем продольные силы.
Тема 2.2. Растяжение и сжатие 181
Сечение 1. – N1 + F1= 0; N1 = F1= 100 кН.
Сечение 2. -80 — N 2 + 100 = 0; N 2= 100 — 80 = 20 кН.
В обоих сечениях продольные силы положительны.
Nz
2. Определяем нормальные напряжения σ = — .
A
Сопоставляя участки нагружения с границами изменения площади, видим, что образуется 4 участка напряжений. Нормальные напряжения в сечениях по участкам:
Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения их положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и имеющегося на листе места.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бруса при растяжении и сжатии?
2. Как распределяются по сечению силы упругости при растяжении и сжатии? (Использовать гипотезу плоских сечений.)
3. Какого характера напряжения возникают в поперечном сечении при растяжении и сжатии: нормальные или касательные?
4. Как распределены напряжения по сечению при растяжении и
сжатии?
5. Запишите формулу для расчета нормальных напряжений при
растяжении и сжатии.
6. Как назначаются знаки продольной силы и нормального напряжения?
7. Что показывает эпюра продольной силы?
8. Как изменится величина напряжения, если площадь поперечного сечения возрастет в 4 раза?
9. В каких единицах измеряется напряжение?
182 Лекция 21
ЛЕКЦИЯ 21
Источник