Для заданного бруса построить эпюру крутящего момента
Построение эпюр крутящих моментов
Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов Mk (Mz) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.
В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣMz=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 5.1, крутящий момент Mz в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M1|=|M2|.
Рис. 5.1
В более сложных случаях, когда к валу приложено несколько внешних моментов, крутящие моменты Mk в поперечных сечениях различных участков вала неодинаковы.
На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения.
При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построения эп. Mk примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис.5.2).
В технике употребляется терминология « винт с правой нарезкой» или «…с левой нарезкой…», причем правый винт наиболее распространен, являясь стандартом. Полезно заметить, что при навинчивании гайки на правый винт мы прикладываем положительный момент Mкр , а при свинчивании гайки – отрицательный.
Рис. 5.2
При наличии распределенной моментной нагрузки m (рис.5.3) крутящие моменты МК связаны дифференциальной зависимостью
из которой вытекает следующая формула:
где – крутящий момент в начале участка.
Согласно формуле (5.2) на участках с равномерно распределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки (m = 0) крутящий момент сохраняет постоянное значение (МК = МКо = const). В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре МК возникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз – при обратном направлении моментов.
Рис. 5.3
На рис. 5.4, а изображен стержень, жестко защемленный в правом концевом сечении, к которому приложены три внешних скручивающих момента.
Рис. 5.4
В нашем случае крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно выражать через внешние моменты, приложенные со стороны свободного конца бруса.
Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.
Крутящий момент Mz1 в сечении I численно равен M1=200 нм и, согласно принятому правилу знаков, положителен.
Крутящий момент Mz2 в сечении II численно равен алгебраической сумме моментов M1 и M1, т.е. Mz2 =200-300=-100 нм, а его знак зависит от соотношения этих моментов.
Аналогичным образом вычисляется крутящий момент Mz3 в сечении III: Mz3 =200-300+500=400 нм.
Изменение крутящих моментов по длине вала покажем с помощью эпюры крутящих моментов. На рис. 5.4, б показана такая эпюра для стержня, изображенного на рис. 5.4, а.
Каждая ордината эп. Mk в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том поперечном сечении бруса, которому соответствует эта ордината.
В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.
Следует учитывать, что наибольший внешний скручивающий момент, приложенный к брусу, не всегда равен наибольшему крутящему моменту, по которому ведется расчет бруса на прочность и жесткость.
Пример 1.
Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.5.4.1, а).
Рис.5.4.1
Решение.
Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
3. По найденным значениям строим эпюру (рис.5.4.1, б).
Пример 2.
Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: т (рис. 5.4.2).
Рис. 5.4.2. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:
а – расчетная схема; б – первый участок, левая часть; в – второй участок, левая часть;
г – третий участок, правая часть; д – эпюра внутренних крутящих моментов
Решение.
В исходных сечениях 1–1; 2–2; 3–3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М1, М2, М3. Пусть .
Для первого участка (рис. 5.4.2, б):
ΣMk = M1 + M = 0;
M1 = –M = ml = const.
Для второго участка (рис. 5.4.2, в):
Для третьего участка (рис. 5.4.2, г):
Границы измерения параметра х3 в следующей системе координат:
Тогда
Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис. 5.4.2, д).
Пример 3.
На рис. 5.4.3 дан пример определения по методу сечений внутренних крутящих моментов по участкам и внизу (ри.5.4.3, с) изображена суммарная эпюра Мкр.
Рис.5.4.3. a) заданный стержень с нагрузкой; b) отсеченные части стержня;
с) эпюра крутящих моментов.
Решение.
В данном случае для консольного стержня вести вычисления удобно, идя справа налево, начав их с 3–го участка.
Участок 3(рис. 5.4.3, b). Неизвестный момент Mкр3 прикладываем к отсеченной части как положительный, после чего пишем условие равновесия отсеченной части:
Σотсеч mz3=Mкр3 +5=0; → Mкр3 = -5 тм, (0≤z3 ≤2).
Участок 2(рис. 5.4.3, b). Положение сечения фиксируем с помощью местной координаты z2 :
Σотсеч mz2= Mкр2 +3(4-z2 ) -15 +5=0; → Mкр2 =10 – 3(4-z2), (0≤z2≤2).
Точка z2 =0, Mкр2 =10 – 12= -2 тм.
Точка z2 =4, Mкр2 =10 – 0= 10 тм.
Участок 1(рис. 5.4.3, b):
Σотсеч mz1= Mкр1 +3∙4+5+5-15=0; → Mкр1 = -7 тм, (0≤z1 ≤2).
Найдем реактивный момент в заделке M0 из условия равновесия всего стержня Σmz =0, это дает M0 +3∙4+5+5-15=0 и M0 = -7 тм, что совпадает с Mкр1 , найденным на участке 1 по методу сечений. Этого конечно следовало ожидать, так как по существу реактивный момент – это внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении, где соединены торец стержня и заделка.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
Источник
Основы технической механики — Методические указания к контрольной работе Задачи алгоритм и пример решения Исходные данные () 23 Схемы к задачам 130
1 2 3 4 5 6 7 8



Задачи 31…60
Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры сечения в двух вариантах: а) круг; б) кольцо с заданным отношением C = d/d = 0,75 внутреннего и наружного диаметров. Сравнить массы брусьев по обоим расчетным вариантам. Указанные расчеты выполнить только для участка с опасным сечением. Ответить на вопрос: во сколько раз большую нагрузку на брус можно допустить при увеличении размера сечения в 2 раза? Во сколько раз возрастут при этом затраты материала? Для материала бруса (Сталь Ст5) принять допускаемое напряжение кручения [τ] =100 МП*
Алгоритм решения задач 31…60
-
Изображаем брус со всеми приложенными к нему скручивающими моментами Те1, Те2,Те3. -
Для построения эпюры крутящих моментов делим брус на участки I, II, III, начиная со свободного конца, и, применяя метод сечений, находим значение крутящего момента на каждом участке. По найденным значениям T строим эпюру крутящих моментов. -
Определим размеры поперечного сечения бруса для участка бруса с наибольшим по абсолютной величине крутящим моментом в двух вариантах. Для этого используем условие прочности при кручении
τ =T/Wp≤[τ],
где полярный момент сопротивления Wpявляется геометрической характеристикой прочности поперечного сечения и для круга диаметром dвыражается формулой Wp = nd3/16 = 0,2d3; для кольца Wp = πd3(1-С4)/16 = 0,2d3(l—C4). Значение диаметров dи d0 округляем до конструктивного значения (то есть четное число, либо оканчивающееся на или 5).
4Сравним затраты материала по обоим расчетным вариантам. Отношение масс брусьев одинаковой длины равно отношению площадей их сечений. Площадь круглого сечения Aкр =πd2/4; площадь кольцевого сечения Акол= πd2 (1-С2)/4.
Тогда ткр/ткол = Акр/Aкол
Пример 2. Для бруса построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры сечения в двух вариантах: а) круг; б) кольцо с заданным отношением С=d/d=0,75внутреннего и наружного диаметров. Сравнить массы брусьев. Принять допускаемое напряжение [τ] = 100 МПа.

Решение:
1 Изображаем брус и показываем приложенные скручивающие моменты в Н·м.
-
Делим брус на участки I, II, III, начиная со свободного конца; границами участков являются сечения, в которых приложены внешние скручивающие моменты Те1, Те2,Те3. -
Определяем величину внутренних крутящих моментов в сечениях на каждом из участков бруса:
Т1=-Те3=-600Н·м;
Т2 = -Те3+Те2 = -600+2000 =-1400 Нм;
Т3 = -Те3+Те2-Те1= -600+2000-1600 = -200 Н·м
Строим эпюру Г (в масштабе). Отрицательные значения моментов откладываем вниз от оси эпюры.
4Для опасного участка II определяем размеры поперечного сечения бруса. Используем условие прочности при кручении
t2 = T2/Wp2≤[τ];
τ =1400·103/Wp2= 100, отсюда требуемый Wp2= 14·103 мм3.
Для круглого сечения приравниваем 0,2d23 = 14·10 мм3и находим d2 = =41,2 мм. Принимаем d2 = 42 мм.
Для кольцевого сечения (С = 0,75) принимаем: 0,2d23(l-0,754) = 14·103 мм3и находим d2=48 мм. Тогда do2 = 0,75·48 = 36 мм.
Теперь сравним затраты материала по обоим расчетным вариантам. Отношение масс брусьев одинаковой длины равно отношению площадей их сечений.
Площадь круглого сечения Акр=πd22/4 = 3,14·422 /4 = 1385 мм2 .
Площадь кольцевого сечения Акол= 3,14(482 -362 )/4 = 791мм .
Тогда ткр/ткол=Aкр/Aкол=1385/791=1,8
Следовательно, брус круглого сечения тяжелее бруса кольцевого сечения примерно в 2 раза.
Таблица 3 – Данные к задачам 31…60
| Вариант | Моменты | ||
| кН-м | |||
| Tel | Та | Те3 | |
| 01 | 0,9 | 0,3 | 1,6 |
| 02 | 0,7 | 0,8 | 1,2 |
| 03 | 0,8 | 0,4 | 2,0 |
| 04 | 1,2 | 0,5 | 2,5 |
| 05 | 1,0 | 0,8 | 2,1 |
| 06 | 1,0 | 0,6 | 3,2 |
| 07 | 2,6 | 0,4 | 0,7 |
| 08 | 2,2 | 2,3 | 0,9 |
| 09 | 3,0 | 2,1 | 0,8 |
| 10 | 5,0 | 2,2 | 0,6 |



Задачи 61...90
Для заданной балки построить эпюры изгибающих моментов.
Для опасного сечения определить из расчета на прочность требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки, принимая допускаемое напряжение [σ]=160 Мпа.
Подобрать по таблицам ГОСТ 8239-89 и ГОСТ 8240-37 соответствующие требуемому моменту сопротивления номера профилей прокатной стали в двух вариантах:
а) балка двутавровая;
б) балка состоит из двух рядом поставленных швеллеров.
Найти отношение массы балки, состоящей из двух швеллеров к массе двутавровой балки.
Алгоритм решения задач 61…90
1 Вычертить балку, указав величину и направление нагрузок (F, М), а также длины участков.
-
Изобразить оси координат у и z, направив г по оси балки, а ось у перпендикулярно ей. -
Освободить балку от опор, заменив их опорными реакциями. -
Составить два уравнения равновесия, выбрав в качестве центров моментов точки опор балки:
ΣMA(Fi) = 0;
ΣMB(Fi) = 0.
5Составить проверочное уравнения равновесия:
ΣFiy = 0.
Если реакция опоры получается отрицательной, следует перечеркнуть предварительно выбранное направление и показать новое направление. Найденные значения реакций опор проставить на чертеже.
-
Определить величину изгибающих моментов в характерных сечениях балки, применяя метод сечений. -
Построить эпюру изгибающих моментов. Если максимальный изгибающий момент получается со знаком минус, то знак минус опускаем, так как при расчете на прочность он не имеет значения.
8 Из условия прочности балки при изгибе определяем размеры ее поперечного сечения σ = Мтах/Wx≤ [σ];
Wx≥Мтах/[σ];
9 Находим отношение масс балок, равное отношению их площадей.
1 2 3 4 5 6 7 8
Источник
Определение крутящих моментов и построение эпюры
Кручение стержня вызывается парами сил (сосредоточенными или распределенными), плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня. При кручении в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор – крутящий момент Mк.
Согласно методу сечений величина и направление крутящего может быть найдены из уравнения равновесия моментов относительно оси стержня, составленного для оставленной части. То есть, крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов пар сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси стержня.
Правило знаков для крутящих моментов.
Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение по ходу часовой стрелки и отрицательным — в противном случае.
При построение эпюры крутящих моментов положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз.
Это правило знаков условное и не совпадает с принятыми правилами знаков моментов, углов поворота в теоретической механике и математике, поскольку связано не с системой координат, а с видом деформации оставленной части.
Крутящий момент для сечения можно выразить так: $$M _к(x) = sum M _{кi} + sum int m _i(x)cdot dx$$
Распределенный крутящий момент m может быть постоянной или переменной интенсивности. Для постоянного распределенного момента m это выражение примет вид:
$$M _к(x) = sum M _{кi} + sum m _i(x)cdot (x- L_{mн}) — sum m _i(x)cdot (x- L_{mк})$$
где Lmн и Lmк – расстояние от начала координат до начала и до конца распределенного момента соответственно.
Дифференциальная зависимость внутренних усилий от распределенной нагрузки m:
dMк = m·dx
Общий порядок расчета и построения эпюры.
- Намечаем характерные сечения стержня.
- Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
- По найденным значениям моментов строим эпюру.
Построение эпюр крутящих моментов (пример)
Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня
Пусть прямолинейный стержень нагружен внешними сосредоточенными крутящими моментами Mкв1=-30кН·м, Mкв2=50 кН·м, и распределенным моментом m1=10кН. Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться рассмотрением лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).
1. Число характерных сечений — 6
Для заданного консольного стержня вычисления удобно вести, идя справа налево, начав их с 1–го сечения.
2. Проведем сечение 1. Определим крутящий момент в текущем сечении:
Mк1= Mкв2= 50 кНм
3. Проведем сечение 2. Отбросим левую часть, заменим ее действие крутящим моментом Mк2 и составим уравнение равновесия в моментах относительно оси бруса. Из уравнения равновесия получаем выражение для крутящего момента в сечении 2:
Mк2 = Mк1 = Mкв2 = 50 кНм
3. Проведем сечение 3, отбрасываем левую часть, составляем уравнение равновесия и получаем:
Mк3 = Mкв2 – m1*4 = 50 – 10*4 = 10 кНм
4. Аналогично для сечения 4:
Mк4 = Mк3 = 10 кНм
5. Также для сечения 5:
Mк5= Mк4-Mкв1= 10 – 30 = -20 кНм
6. Для сечения 6:
Mк6= Mк5 =-20 кНм
7. По полученным значения строим эпюру крутящих моментов (см. рис.).
Скачок на левом конце эпюры дает величину опорного момента (реактивного момента в заделке) Mк6, так как реактивный момент – это внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении, где соединены торец стержня и заделка.
Правила контроля правильности эпюр крутящих моментов
Для эпюр крутящих моментов характерны некоторые закономерности, знание которых позволяет оценить правильность построений.
- Эпюры крутящих моментов всегда прямолинейные.
- На участке, где нет распределенных моментов, эпюра Mк – прямая, параллельная оси; а на участке с распределенными моментами – наклонная прямая.
- Под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mк будет скачок на величину этого момента.
Дополнительно
Еще один вариант построения эпюры крутящих моментов с использованием компьютера найдете на этой странице.
Пример из пособия МИИТ Построение эпюры крутящих моментов (формат pdf).
метки: внутренние усилия,
кручение
Источник
Эпюры крутящих моментов
Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.
Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае момент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис. 26.2).
Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладывают от оси вверх или вниз, масштаб построения выдерживать обязательно.
Примеры решения задач
Пример 1. На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, которая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распределяются следующим образом: Р2 = 8 кВт, Р3 = 3 кВт, Р4 = 1кВт, вал вращается с постоянной скоростью ω = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов на валу.
Решение
1. Определяем моменты пар сил на шкивах.
Вращающий момент определяем из формулы мощности при вращательном движении
Момент на шкиве 1 движущий, а моменты на шкивах 2, 3, 4 — моменты сопротивления механизмов, поэтому они имеют противоположное направление. Брус скручивается между движущим моментом и моментами сопротивления. При равновесии момент движущий равен сумме моментов сопротивления:
2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений.
3. Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что скачок на эпюре всегда численно равен приложенному вращающему моменту.
Выбираем соответствующий масштаб.
Откладываем значения моментов, штрихуем эпюру поперек, обводим по контуру, записываем значения моментов (см. эпюру под схемой вала (рис. 26.3)). Максимальный крутящий момент на участке III Мкз = 320 Н*м.
Пример 2. Выбрать рациональное расположение колес на валу (рис. 26.5). m1 = 280 Н • м; т2 = 140 Н • м; т3 = 80 Н* м.
Примечание. Меняя местами колеса (шкивы) на валу, можно изменять величины крутящих моментов. Рациональным расположением является такое, при котором крутящие моменты принимают минимальные из возможных значения.
Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес.
Из представленных вариантов наиболее рационально расположение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих моментов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.
Пример 3. Для бруса, изображенного на рис. 2.34, а, построить эпюру крутящих моментов.
Решение
1. Заданный брус имеет три участка I, II, III. Напомним, что границами участков являются сечения, в которых прилажены внешние (скручивающие) моменты.
В данном случае проще, применяя метод сечений, оставлять левую и отбрасывать правую часть бруса — это дает возможность не определять реактивный момент в заделке.
Проводим произвольное поперечное сечение на участке I и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, 6:
В любом сечении участка I крутящий момент имеет найденное значение M1z = т. Из уравнения равновесия для оставленной части значение M1zполучилось со знаком плюс. Это указывает на то, что выбранное направление M1z соответствует действительному.
Эпюра крутящих моментов на этом участке — прямая, параллельная оси абсцисс. Согласно принятому правилу знаков М1я отрицателен, и ординаты эпюры откладываем вниз от ее оси.
2. Проводим произвольное поперечное сечение на участке II и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, в:
Откуда
И в этом случае выбранное направление MIIz соответствует действительному. В любом сечении участка II крутящий момент MzII= 2m. Согласно принятому правилу знаков, MzIIположителен и ординаты эпюры откладываем вверх от ее оси.
3. Проводим произвольное поперечное сечение на участке III и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, г:
откуда
В любом сечении участка III MzIII = —Зт.
Эпюра крутящих моментов представлена на рис. 2.34, д.
При нагружении бруса сосредоточенными моментами эпюра всегда имеет такой же характер, как и в рассматриваемом случае: на отдельных участках она ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс; в местах приложения внешних (скручивающих) моментов получаются скачки на величину этих моментов.
Пример 4. На вал насажены шкивы 1, 2, 3, 4 (рис. 2.35, а). Шкив 1 передает от источника энергии на вал мощность N1 = 5,2 кВт, а остальные шкивы снимают с вала и передают рабочим машинам мощности соответственно N2 = 1,5 кВт; N3 = 1,7 кВт; N4 = 2,0 кВт. Вал вращается с частотой п = 240 об/мин. Построить эпюру крутящих моментов.
Решение
При построении эпюры крутящих моментов потери в подшипниках не учитываются, поэтому сумма снимаемых с вала мощностей равна подводимой к нему мощности (Л^—N2+Nb+N4). В действительности потери имеют место, но их величина незначительна — не превышает 1—2% передаваемой мощности.
Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
где
На рис. 2.35,6 показана расчетная схема вала. Вал имеет три участка I, II, III. Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 1.
На участке I
на участке II
на участке III
Эпюра крутящих моментов показана на рис. 2.35, в.
Поменяем местами шкивы 1 и 2 (рис. 2.36, а). Расчетная схема вала показана на рис. 2.36, б.
Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 2.
На участке I
на участке II
на участке III
Сравнивая эпюры крутящих моментов (см. рис. 2.35, б и 2.36, в), видим, что во втором случае максимальный крутящий момент меньше, чем в первом. Следовательно, второй вариант расположения ведущего шкива предпочтительнее.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие деформации возникают при кручении?
2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?
3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?
4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?
5. Что такое рациональное расположение колес на валу?
6. Для заданного вала (рис. 26.6) выбрать соответствующую эпюру крутящих моментов (а, б, в), m1= 40 Н • м; m2= 180 Н • м; m0= 280 Н • м.
7. В каком порядке рациональнее расположить шкивы на валу для уменьшения нагрузки на вал (рис. 26.7)?
ЛЕКЦИЯ 27
Date: 2016-05-25; view: 3300; Нарушение авторских прав
Источник