Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов

Содержание статьи

Построение эпюр крутящих моментов

Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов Mk (Mz) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.

В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣMz=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 5.1, крутящий момент Mz в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M1|=|M2|.

Рис. 5.1

В более сложных случаях, когда к валу приложено несколько внешних моментов, крутящие моменты Mk в поперечных сечениях различных участков вала неодинаковы.

На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построения эп. Mk примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис.5.2).

В технике употребляется терминология « винт с правой нарезкой» или «…с левой нарезкой…», причем правый винт наиболее распространен, являясь стандартом. Полезно заметить, что при навинчивании гайки на правый винт мы прикладываем положительный момент Mкр , а при свинчивании гайки – отрицательный.

Рис. 5.2

При наличии распределенной моментной нагрузки m (рис.5.3) крутящие моменты МК связаны дифференциальной зависимостью

из которой вытекает следующая формула:

где – крутящий момент в начале участка.

Согласно формуле (5.2) на участках с равномерно распределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки (m = 0) крутящий момент сохраняет постоянное значение (МК = МКо = const). В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре МК возникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз – при обратном направлении моментов.

Рис. 5.3

На рис. 5.4, а изображен стержень, жестко защемленный в правом концевом сечении, к которому приложены три внешних скручивающих момента.

Рис. 5.4

В нашем случае крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно выражать через внешние моменты, приложенные со стороны свободного конца бруса.

Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Крутящий момент Mz1 в сечении I численно равен M1=200 нм и, согласно принятому правилу знаков, положителен.

Крутящий момент Mz2 в сечении II численно равен алгебраической сумме моментов M1 и M1, т.е. Mz2 =200-300=-100 нм, а его знак зависит от соотношения этих моментов.

Аналогичным образом вычисляется крутящий момент Mz3 в сечении III: Mz3 =200-300+500=400 нм.

Изменение крутящих моментов по длине вала покажем с помощью эпюры крутящих моментов. На рис. 5.4, б показана такая эпюра для стержня, изображенного на рис. 5.4, а.

Каждая ордината эп. Mk в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том поперечном сечении бруса, которому соответствует эта ордината.

В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.

Следует учитывать, что наибольший внешний скручивающий момент, приложенный к брусу, не всегда равен наибольшему крутящему моменту, по которому ведется расчет бруса на прочность и жесткость.

Пример 1.

Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.5.4.1, а).

Рис.5.4.1

Решение.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

3. По найденным значениям строим эпюру (рис.5.4.1, б).

Пример 2.

Рассмотрим расчетную схему ва­ла, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: т (рис. 5.4.2).

Рис. 5.4.2. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:

а – расчетная схема; б – первый участок, левая часть; в – второй участок, левая часть;

г – третий участок, правая часть; д – эпюра внутренних крутящих моментов

Решение.

В исходных сечениях 1–1; 2–2; 3–3 задаются положительными зна­чениями внутренних крутящих мо­ментов М1, М2, М3. Пусть .

Для первого участка (рис. 5.4.2, б):

Читайте также:  Калуга построим дом из клееного бруса

ΣMk = M1 + M = 0;

M1 = –M = ml = const.

Для второго участка (рис. 5.4.2, в):

Для третьего участка (рис. 5.4.2, г):

Границы измерения параметра х3 в следующей системе координат:

Тогда

Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис. 5.4.2, д).

Пример 3.

На рис. 5.4.3 дан пример определения по методу сечений внутренних крутящих моментов по участкам и внизу (ри.5.4.3, с) изображена суммарная эпюра Мкр.

Рис.5.4.3. a) заданный стержень с нагрузкой; b) отсеченные части стержня;

с) эпюра крутящих моментов.

Решение.

В данном случае для консольного стержня вести вычисления удобно, идя справа налево, начав их с 3–го участка.

Участок 3(рис. 5.4.3, b). Неизвестный момент Mкр3 прикладываем к отсеченной части как положительный, после чего пишем условие равновесия отсеченной части:

Σотсеч mz3=Mкр3 +5=0; → Mкр3 = -5 тм, (0≤z3 ≤2).

Участок 2(рис. 5.4.3, b). Положение сечения фиксируем с помощью местной координаты z2 :

Σотсеч mz2= Mкр2 +3(4-z2 ) -15 +5=0; → Mкр2 =10 – 3(4-z2), (0≤z2≤2).

Точка z2 =0, Mкр2 =10 – 12= -2 тм.

Точка z2 =4, Mкр2 =10 – 0= 10 тм.

Участок 1(рис. 5.4.3, b):

Σотсеч mz1= Mкр1 +3∙4+5+5-15=0; → Mкр1 = -7 тм, (0≤z1 ≤2).

Найдем реактивный момент в заделке M0 из условия равновесия всего стержня Σmz =0, это дает M0 +3∙4+5+5-15=0 и M0 = -7 тм, что совпадает с Mкр1 , найденным на участке 1 по методу сечений. Этого конечно следовало ожидать, так как по существу реактивный момент – это внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении, где соединены торец стержня и заделка.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник

Основы технической механики — Методические указания к контрольной работе Задачи алгоритм и пример решения Исходные данные () 23 Схемы к задачам 130

Подборка по базе: Отчет по работе. Сварцевич.doc, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ (1).pdf, Задачи к практической работе(Стат).doc, Основные методические положения которыми должен руководствоватьс, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ.pdf, Отчет по лабораторной работе ‘Исследование трехфазного синхронно, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ.pdf, МП по самостоятельной работе МПФ.doc, Методические указания по ЭТМ нов для 2020-2021 у г.pdf, Рекомендации по работе с конспектом лекций.docx

1   2   3   4   5   6   7   8

Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов

Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов

Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов

Задачи 31…60
Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры сечения в двух вариантах: а) круг; б) кольцо с заданным отношением C = d/d = 0,75 внутреннего и наружного диаметров. Сравнить массы брусьев по обоим расчетным вариантам. Указанные расчеты выполнить только для участка с опасным сечением. Ответить на вопрос: во сколько раз большую нагрузку на брус можно допустить при увеличении размера сечения в 2 раза? Во сколько раз возрастут при этом затраты материала? Для материала бруса (Сталь Ст5) принять допускаемое напряжение кручения [τ] =100 МП*
Алгоритм решения задач 31…60


  1. Изображаем брус со всеми приложенными к нему скручивающими моментами Те1, Те2,Те3.

  2. Для построения эпюры крутящих моментов делим брус на участки I, II, III, начиная со свободного конца, и, применяя метод сечений, находим значение крутящего момента на каждом участке. По найденным значениям T строим эпюру крутящих моментов.

  3. Определим размеры поперечного сечения бруса для участка бруса с наибольшим по абсолютной величине крутящим моментом в двух вариантах. Для этого используем условие прочности при кручении

τ =T/Wp≤[τ],

где полярный момент сопротивления Wpявляется геометрической характеристикой прочности поперечного сечения и для круга диаметром dвыражается формулой Wp = nd3/16 = 0,2d3; для кольца Wp = πd3(1-С4)/16 = 0,2d3(l—C4). Значение диаметров dи d0 округляем до конструктивного значения (то есть четное число, либо оканчивающееся на или 5).

4Сравним затраты материала по обоим расчетным вариантам. Отношение масс брусьев одинаковой длины равно отношению площадей их сечений. Площадь круглого сечения Aкр =πd2/4; площадь кольцевого сечения Акол= πd2 (1-С2)/4.

Тогда ткр/ткол = Акр/Aкол
Пример 2. Для бруса построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры сечения в двух вариантах: а) круг; б) кольцо с заданным отношением С=d/d=0,75внутреннего и наружного диаметров. Сравнить массы брусьев. Принять допускаемое напряжение [τ] = 100 МПа.

Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов
Решение:

1 Изображаем брус и показываем приложенные скручивающие моменты в Н·м.


  1. Делим брус на участки I, II, III, начиная со свободного конца; границами участков являются сечения, в которых приложены внешние скручивающие моменты Те1, Те2,Те3.

  2. Определяем величину внутренних крутящих моментов в сечениях на каждом из участков бруса:

Т1=-Те3=-600Н·м;

Т2 = -Те3+Те2 = -600+2000 =-1400 Нм;

Т3 = -Те3+Те2-Те1= -600+2000-1600 = -200 Н·м

Строим эпюру Г (в масштабе). Отрицательные значения моментов откладываем вниз от оси эпюры.

4Для опасного участка II определяем размеры поперечного сечения бруса. Используем условие прочности при кручении

t2 = T2/Wp2≤[τ];

τ =1400·103/Wp2= 100, отсюда требуемый Wp2= 14·103 мм3.

Для круглого сечения приравниваем 0,2d23 = 14·10 мм3и находим d2 = =41,2 мм. Принимаем d2 = 42 мм.

Для кольцевого сечения (С = 0,75) принимаем: 0,2d23(l-0,754) = 14·103 мм3и находим d2=48 мм. Тогда do2 = 0,75·48 = 36 мм.

Теперь сравним затраты материала по обоим расчетным вариантам. Отношение масс брусьев одинаковой длины равно отношению площадей их сечений.

Площадь круглого сечения Акр=πd22/4 = 3,14·422 /4 = 1385 мм2 .

Площадь кольцевого сечения Акол= 3,14(482 -362 )/4 = 791мм .

Тогда ткр/ткол=Aкр/Aкол=1385/791=1,8

Следовательно, брус круглого сечения тяжелее бруса кольцевого сечения примерно в 2 раза.

Читайте также:  Построить дом из бруса за 400 тысяч рублей под ключ

Таблица 3 – Данные к задачам 31…60

ВариантМоменты
кН-м
TelТаТе3
010,90,31,6
020,70,81,2
030,80,42,0
041,20,52,5
051,00,82,1
061,00,63,2
072,60,40,7
082,22,30,9
093,02,10,8
105,02,20,6

Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов

Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов

Для заданного бруса построить эпюру крутящих моментов
Задачи 61...90
Для заданной балки построить эпюры изгибающих моментов.

Для опасного сечения определить из расчета на прочность требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки, принимая допускаемое напряжение [σ]=160 Мпа.

Подобрать по таблицам ГОСТ 8239-89 и ГОСТ 8240-37 соответствующие требуемому моменту сопротивления номера профилей прокатной стали в двух вариантах:

а) балка двутавровая;

б) балка состоит из двух рядом поставленных швеллеров.

Найти отношение массы балки, состоящей из двух швеллеров к массе двутавровой балки.
Алгоритм решения задач 61…90
1 Вычертить балку, указав величину и направление нагрузок (F, М), а также длины участков.


  1. Изобразить оси координат у и z, направив г по оси балки, а ось у перпендикулярно ей.

  2. Освободить балку от опор, заменив их опорными реакциями.

  3. Составить два уравнения равновесия, выбрав в качестве центров моментов точки опор балки:

ΣMA(Fi) = 0;

ΣMB(Fi) = 0.

5Составить проверочное уравнения равновесия:

ΣFiy = 0.

Если реакция опоры получается отрицательной, следует перечеркнуть предварительно выбранное направление и показать новое направление. Найденные значения реакций опор проставить на чертеже.


  1. Определить величину изгибающих моментов в характерных сечениях балки, применяя метод сечений.

  2. Построить эпюру изгибающих моментов. Если максимальный изгибающий момент получается со знаком минус, то знак минус опускаем, так как при расчете на прочность он не имеет значения.

8 Из условия прочности балки при изгибе определяем размеры ее поперечного сечения σ = Мтах/Wx≤ [σ];

Wx≥Мтах/[σ];

9 Находим отношение масс балок, равное отношению их площадей.

1   2   3   4   5   6   7   8

Источник

Задачи на кручение стержня круглого сечения (задачи по сопромату)

Пример решения задачи на кручение стержня круглого сечения

Кручение стержня круглого сечения – условие задачи

К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема

Рис. 3.8

Решение задачи кручение стержня круглого сечения

Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке

Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).

Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.

Тогда

кН·м.

Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.

Строим эпюру крутящих моментов

Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».

Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.

Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.

Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков

кН·м.

Сечения 2 – 2 и 3 – 3:

кН·м;

кН·м.

Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда

кН·м.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим

кН·м.

Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.

Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.

Определяем диаметр вала из условия прочности

Условие прочности при кручении имеет вид

,

где – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).

Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: кН·см.

Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле

см.

Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.

Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания

Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а – полярный момент инерции. Получим

Читайте также:  Построить дом клееный брус финский

кН·см2.

Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:

рад;

рад;

рад;

рад.

Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда

рад;

рад;

рад;

рад.

Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.

Пример задачи на кручение «круглого» стержня для самостоятельного решения

Условие задачи на кручение «круглого» стержня

Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).

Требуется:

· построить эпюру крутящих моментов;

· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;

· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения

Рис. 3.7

Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения

Номер схемы

М1,

кН·м

М2,

кН·м

М3,

кН·м

М4,

кН·м

a,

м

b,

м

c,

м

d,

м

1

1,0

2,0

1,0

1,0

1,0

1,2

1,4

1,6

2

1,0

2,0

1,0

0,8

1,2

1,4

1,6

1,9

3

2,0

4,0

1,0

1,0

1,4

1,6

1,0

1,2

4

3,0

5,0

1,6

1,4

1,6

1,0

1,2

1,4

5

4,0

6,0

1,8

1,4

1,1

1,1

1,8

1,5

6

2,0

4,0

1,2

1,2

1,3

1,3

1,5

1,1

7

2,0

3,0

1,2

1,0

1,5

1,5

1,3

1,3

8

3,0

4,0

1,0

1,0

1,7

1,7

1,5

1,4

9

4,0

5,0

1,8

1,6

1,9

1,9

1,7

1,3

5,0

6,0

2,0

1,6

1,2

1,4

1,4

1,2

Источник

Определение крутящих моментов и построение эпюры

Кручение стержня вызывается парами сил (сосредоточенными или распределенными), плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси стержня. При кручении в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор – крутящий момент Mк.

Согласно методу сечений величина и направление крутящего может быть найдены из уравнения равновесия моментов относительно оси стержня, составленного для оставленной части. То есть, крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов пар сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси стержня.

Правило знаков для крутящих моментов.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение по ходу часовой стрелки и отрицательным — в противном случае.
При построение эпюры крутящих моментов положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз.

Это правило знаков условное и не совпадает с принятыми правилами знаков моментов, углов поворота в теоретической механике и математике, поскольку связано не с системой координат, а с видом деформации оставленной части.

Крутящий момент для сечения можно выразить так: $$M _к(x) = sum M _{кi} + sum int m _i(x)cdot dx$$

Распределенный крутящий момент m может быть постоянной или переменной интенсивности. Для постоянного распределенного момента m это выражение примет вид:
$$M _к(x) = sum M _{кi} + sum m _i(x)cdot (x- L_{mн}) — sum m _i(x)cdot (x- L_{mк})$$

где Lmн и Lmк – расстояние от начала координат до начала и до конца распределенного момента соответственно.

Дифференциальная зависимость внутренних усилий от распределенной нагрузки m:

dMк = m·dx

Общий порядок расчета и построения эпюры.

  1. Намечаем характерные сечения стержня.
  2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
  3. По найденным значениям моментов строим эпюру.

Построение эпюр крутящих моментов (пример)

Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня

Пусть прямолинейный стержень нагружен внешними сосредоточенными крутящими моментами Mкв1=-30кН·м, Mкв2=50 кН·м, и распределенным моментом m1=10кН. Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться рассмотрением лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).

1. Число характерных сечений — 6
Для заданного консольного стержня вычисления удобно вести, идя справа налево, начав их с 1–го сечения.

2. Проведем сечение 1. Определим крутящий момент в текущем сечении:

Mк1= Mкв2= 50 кНм

3. Проведем сечение 2. Отбросим левую часть, заменим ее действие крутящим моментом Mк2 и составим уравнение равновесия в моментах относительно оси бруса. Из уравнения равновесия получаем выражение для крутящего момента в сечении 2:

Mк2 = Mк1 = Mкв2 = 50 кНм

3. Проведем сечение 3, отбрасываем левую часть, составляем уравнение равновесия и получаем:

Mк3 = Mкв2 – m1*4 = 50 – 10*4 = 10 кНм

4. Аналогично для сечения 4:

Mк4 = Mк3 = 10 кНм

5. Также для сечения 5:

Mк5= Mк4-Mкв1= 10 – 30 = -20 кНм

6. Для сечения 6:

Mк6= Mк5 =-20 кНм

7. По полученным значения строим эпюру крутящих моментов (см. рис.).

Скачок на левом конце эпюры дает величину опорного момента (реактивного момента в заделке) Mк6, так как реактивный момент – это внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении, где соединены торец стержня и заделка.

Правила контроля правильности эпюр крутящих моментов

Для эпюр крутящих моментов характерны некоторые закономерности, знание которых позволяет оценить правильность построений.

  • Эпюры крутящих моментов всегда прямолинейные.
  • На участке, где нет распределенных моментов, эпюра Mк – прямая, параллельная оси; а на участке с распределенными моментами – наклонная прямая.
  • Под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mк будет скачок на величину этого момента.

Дополнительно

Еще один вариант построения эпюры крутящих моментов с использованием компьютера найдете на этой странице.

Пример из пособия МИИТ Построение эпюры крутящих моментов (формат pdf).

метки: внутренние усилия,
кручение

Источник