Как построить эпюру бруса

Эпюра продольных сил N — это график, показывающий, как изменяется продольная сила по длине бруса.

Пример 1. Построить эпюру продольных сил для бруса, нагруженного осевыми силами (рис. 2.2.5).

Для построения эпюры продольных сил проводим прямую, параллельную продольной оси бруса (базовая линия). Значение нормальных сил откладывают в выбранном масштабе и с учетом знаков (положительные силы откладываем вправо от базовой линии, а отрицательные — влево) на уровне соответствующего участка. Участком считается расстояние от силы до силы, т.е. границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы. В нашем примере у бруса три участка: АВ, ВС и CD.

Штриховка эпюр означает величину продольной силы в любом сечении бруса, проводится перпендикулярно продольной оси стержня.

Рис. 2.2.5

Построение эпюр начинаем от свободного конца.

Применяя метод сечений, мысленно рассекаем брус на участке АВ (сечение I—I) и отбрасываем его верхнюю часть. Рассмотрим равновесие оставшейся нижней части: ‘ZFz = F] — У, = 0;

Nx = Fv Поскольку Fx направлена от сечения, то N{ = Fx = 25 Н. На всем участке АВ продольная сила положительна (так как участок растягивается). Откладываем ее в масштабе вправо от базовой линии. Далее проводим сечение II—II на участке ВС, мысленно отбрасываем верхнюю часть бруса и рассматриваем равновесие нижней части:

Продольная сила N2 отрицательная и направлена к сечению. Аналогично определяем значение продольной силы в сечении III—III на участке CD:

Продольная сила N3 направлена от сечения, т.е. является растягивающей. Итак, продольная сила А в любом сечении равна алгебраической сумме продольных сил, действующих по одну сторону от сечения.

Пример 2. Для бруса со ступенчато-переменным сечением построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений (рис. 2.2.6).

Эпюра нормальных напряжений а — это график, показывающий, как изменяется напряжение по длине стержня. Правило знаков такое же, как у продольной силы: напряжение положительное — растяжение, напряжение отрицательное — сжатие.

Вопрос об определении нормальных напряжений связан с расчетом бруса на прочность.

При построении эпюры продольных сил участка считается расстояние от силы до силы (в нашем примере четыре участка: АВ, BD, DK, KL).

гг „ (

При построении эпюры нормальных напряжении I с = — I

участком является либо расстояние между силами, либо расстояние между силами и тем местом, где изменяется площадь поперечного сечения (в нашем примере шесть участков: АВ, ВС, CD, DE, ЕК, KL).

Для построения эпюры продольных сил мысленно рассекаем участок АВ по сечению I—I. Верхнюю часть отбрасываем и рассматриваем равновесие нижней части:

F{ и Nx направлены к сечению, т.е. участок АВ сжимается.

Рис. 2.2.6

На участке ВС в сечении II—II продольная сила N2 равна алгебраической сумме внешних продольных сил, лежащих ниже этого сечения, N2 = — F{ + F2 = —10 + 15 = 5 Н. На участке CD для эпюры продольных сил никаких изменений не произошло: алгебраическая сумма сил осталась та же: N3 = N2 = 5 Н.

Рассекаем участок DE. Продольная сила N4 равна алгебраической сумме сил —Fx + F2 — F3 = —10 + 15 — 30 = -25 Н. На участке ЕК продольная сила N будет такая же, как на участке DE, т.е. существует только перепад сечения, а сила не приложена, N5 = N4 = — 5 Н.

На участке KL в сечении VI—VI продольная сила 7^ = —10+15 — — 30 + 45 = 20 Н.

Все значения продольных сил Nоткладываем на эпюре.

Скачок на эпюре N находится в том сечении, где приложена сосредоточенная сила, и происходит на величину и в направлении этой силы. Так, в сечении, где приложена сила F{, — скачок от нуля на 10 Н в отрицательную сторону. В том сечении, где действует сила Е2 — скачок в положительную сторону на 15 Н, в результате получим N2 = 5 Н. В сечении, где приложена сила Fv — скачок в отрицательную сторону на величину силы Е3 = —30 Н, в результате на участках DE и ЕК имеем N = —25 Н. Последний скачок в сечении, где действует сила Е4, в положительную сторону на 45 Н, и jV6 = 20 Н. При построении эпюры нормальных напряжений надо учитывать, на какой площади поперечного сечения действует данная продольная сила.

Тогда:

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений а.

Пример 3. Стержень стоит на плоскости (рис. 2.2.7). Построить для данного стержня эпюры продольных сил N и нормальных напряжений а.

1. Рассчитаем сначала числовые значения продольных сил.

2. Определим направление этих сил.

Если продольная сила в сечении направлена к сечению, то происходит сжатие, если от сечения — растяжение. Разбиваем стержень на четыре участка: А В, ВС, CD, DE. Эпюру продольных сил N начинаем строить с участка АВ. Мысленно рассекаем этот участок сечением I—I, отбросив нижнюю часть, и рассматриваем равновесие верхней, оставшейся части. Внешняя сила F{ направлена к сечению (сжимающая), внутренняя сила N направлена

Рис. 2.2.7

также к сечению (сжимающая). Из условия равновесия XjF = О, —Fx + Nx = 0 определим Nx = F], откуда следует, что направление силы N{ выбрано верно, т.е. N] — отрицательная. Продольная сила на участке ВС в сечении II—II N2 = —F{, так как до этого сечения действует только сжимающая сила Fv Участок CD мысленно рассекаем сечением III—III и видим, что по одну сторону от сечения (выше этого сечения) действуют две силы: —F{ + F2 = N3, сила N3 растягивающая. На участке DE N4 = N3, так как по одну сторону от сечения IV—IV действуют эти же две силы — Fx + F2 = = N4, N4 = N3. По полученным данным строим эпюру продольных сил N.

Рассчитаем теперь значение нормальных напряжений:

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений о.

Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а).

Делим брус на участки нагружения.

Участком нагружения считают часть бруса между внешними силами.

                 Тема 2.2. Растяжение и сжатие                                         177

     На представленном рисунке 3 участка нагружения. Воспользуемся методом сечений и определим вну­тренние силовые факторы внутри каждого участка.

Расчет начинаем со свободного конца бруса, что­бы не определять величины реакций в опорах.

Участок 1: ∑ Fz = 0; —3F + N 1 = 0; N 1 = 3F. Продольная сила положи­тельна, участок 1 растянут.

Участок 2: ∑ Fz = 0; -3F + 2F + N 2 = 0; N 2 = F . Продольная сила по­ложительна, участок 2 растянут.

Участок 3: ∑ Fz= 0; -3F + 2F + 5F — N3 = 0; N 3 = 4F . Про­дольная сила отрицательна, участок 3 сжат. Полученное значение N 3  равно реакции в заделке.

Под схемой бруса строим эпюру продольной силы (рис. 20.26).       

Эпюрой продольной си­лы называется график рас­пределения продольной си­лы вдоль оси бруса.

Ось эпюры параллель­на продольной оси.

Нулевая линия прово­дится тонкой линией. Зна­чения сил откладывают от оси, положительные — вверх, отрицательные — вниз. В пределах одного участка значение силы не меняется, поэто­му эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz .

Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину приложенной силы.

178                                                                                      Лекция 20

На эпюре проставляются значения Nz . Величины продольных сил откладывают в заранее выбранном масштабе.

Эпюра по контуру обводится толстой линией и заштриховыва­ется поперек оси.

Изучая деформации при растяжении и сжатии, обнаруживаем, что выполняются гипотеза плоских сечений и принцип смягчения граничных условий.

Гипотеза плоских сечений заключается в том, что поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

Следовательно, продольные внутренние волокна удлиняются одинаково, а внутренние силы упругости распределены по сечению равномерно.

Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.

Напряжения   при  растяжении  и   сжатии

При растяжении и сжатии в сечении действует только нормаль­ное напряжение.

Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.

Таким образом, направление и знак напряжения в сечении со­впадают с направлением и знаком силы в сечении (рис. 20.3).

Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. По­этому напряжение можно рассчитать по формуле 

где Nz— продольная cила в сечении; А — площадь поперечного сечения.

 Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Нормальные напряжения действуют при растяжении от сечения (рис. 20.4а), а при сжатии к сечению (рис. 20.46).

                                                            Тема 2.2. Растяжение и сжатие                                             179

Размерность (единица измерения) напряжений — Н/м2 (Па), од­нако это слишком малая единица, и практически напряжения рас­считывают в Н/мм2 (МПа):При определении напряже­ний брус разбивают на участки нагружений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений.

Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.

Строится и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра про­дольных сил.

Рассмотрим брус, нагру­женный внешними силами вдоль оси (рис. 20.5).

Обнаруживаем три уча­стка нагружения и определя­ем величины продольных сил.       

 Участок 1: N 1 = 0. Внутренние продольные силы равны нулю.

Участок 2: N 2= 2F . Про­дольная сила на участке поло­жительна.

Участок 3: N3= 2F-3F = — F . Продольная сила на участке отрицательна.

Брус — ступенчатый. С учетом изменений ве­личин площади поперечного  сечения участков напряжений больше.

Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Масштабы эпюр могут быть разными и выбираются исходя из удобства построения.

180                                                                      Лекция 20

Примеры решения задач

Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами. Брус за­щемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом бруса, по­строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение

1. Определяем участки нагружения, их два.

2. Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.

3. Строим эпюру.

4. Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим эпюру нормальных напряжений в собственном произвольном мас­штабе.

1. Определяем продольные силы.

             Тема 2.2. Растяжение и сжатие                                         181

Сечение 1. – N1 + F1= 0; N1 = F1= 100 кН.

Сечение 2. -80 — N 2 + 100 = 0; N 2= 100 — 80 = 20 кН.

В обоих сечениях продольные силы положительны.

                                                                              Nz

2. Определяем нормальные напряжения σ =  — .

                                                                                                          A

Сопоставляя участки нагружения с границами изменения пло­щади, видим, что образуется 4 участка напряжений. Нормальные напряжения в сечениях по участкам:

Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения их положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и имеющегося на листе места.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бруса при растяжении и сжатии?

2. Как распределяются по сечению силы упругости при растяжении и сжатии? (Использовать гипотезу плоских сечений.)

3. Какого характера напряжения возникают в поперечном сечении при растяжении и сжатии: нормальные или касательные?

4. Как распределены напряжения по сечению при растяжении и
сжатии?

5. Запишите формулу для расчета нормальных напряжений при
растяжении и сжатии.

6. Как назначаются знаки продольной силы и нормального напряжения?

7. Что показывает эпюра продольной силы?

8. Как изменится величина напряжения, если площадь поперечного сечения возрастет в 4 раза?

9. В каких единицах измеряется напряжение?

182                                                    Лекция 21

ЛЕКЦИЯ 21