Построить эпюру напряжений в ступенчатом круглом брусе

Решение задач по сопромату



Примеры решения задач по сопротивлению материалов

Как и в предыдущей статье, на этой странице приведены основные принципы решения задач технической механики на примере простейших заданий, в которых необходимо определить какие-либо силовые факторы, возникающие в конструкциях и телах напряжения, построить эпюры и т. п. Сопротивление материалов является базовой основой для решения вопросов наиболее практического раздела технической механики — «Детали машин».

Решение задачи на растяжение и сжатие

Построить эпюру напряжений в ступенчатом круглом брусе, нагруженном продольными силами и указать на наиболее напряженный участок.
Весом бруса пренебречь.

Решение:

При построении эпюры напряжений используем метод сечений, рассматривая отдельные участки бруса, как самостоятельные его элементы, находящиеся в состоянии равновесия под действием реальных и условных нагрузок. При этом исследование сечений начинаем со стороны свободного конца бруса, т. е. со стороны, где приложены известные нам силы.
Сначала разбиваем весь брус на однородные участки, границами которых служат точки приложения силовых факторов и (или) изменение размеров сечения. Для нашего бруса можно выделить три таких однородных участка — I, II, III (см. схему 2).

Для каждого из участков определяем нормальные напряжения в сечениях по формуле σ = F/A, где: F — величина продольной силы в сечении, А — площадь сечения. При этом следует учитывать знаки: если сила растягивающая, то ее условно считают положительной, если сжимающая — отрицательной. Соответственно, напряжения будут иметь такие же знаки, как и силы.

После подсчетов получим:
σI = F1/A = -100×103/0,1 = -1000000 Па (-1 МПа),
σII = F1/2A = -100×103/2×0,1 = -500000 Па (-0,5 МПа),
σIII = (F2 — F1)/A = (400 — 100)×103/0,1 = 3000000 Па (3 МПа).

Построение эпюры напряжений начинаем с проведения линии, параллельной оси бруса (эта линия условно изображает брус и является нулевой ординатой графика эпюры). Затем, начиная от свободного конца бруса, откладываем от линии, как от нулевой ординаты, величины напряжений по каждому участку с учетом их знаков.
На брусе, приведенном в задании, величина напряжений в каждом сечении отдельных участков будет одинакова, и лишь в граничных (расположенных между соседними участками) сечениях появится скачок напряжения в виде ступени (здесь используется принцип Сен-Венана, условно полагающий, что в месте приложения нагрузки напряжение изменяется скачкообразно).

Построение эпюры завершается указанием на ее площадках знаков напряжения в кружках, проведением тонких линий перпендикулярно оси (нулевой ординаты) эпюры (эти линии условно изображают сечения бруса) и расстановкой величины напряжений на внешних углах графика (на внутренних углах цифровые обозначения не наносятся). Слева от эпюры указывается, что на ней изображено (в нашем случае — Эпюра σ)

В результате построений мы получим график (эпюру) распределения напряжений по каждому сечению бруса, визуальное исследование которого позволяет определить наиболее напряженный участок. Для бруса, представленного в задаче, максимальные напряжения возникают в сечениях участка III (см. схему). Поскольку эти напряжения положительны, они являются растягивающими

Задача решена.

***

Решение задачи с использованием закона Гука

Определить величину растягивающей силы F, если известно, что под ее действием брус удлинился на величину ΔL.

Решение:

Решить задачу можно, используя известную зависимость между линейными удлинениями и нагрузками (закон Гука).
Согласно закону Гука, представленному в расширенном виде:

ΔL = FL/(EA),     откуда:     F = (ΔLEA)/L.

Поскольку сила F приложена не к крайнему сечению бруса, а к его середине, то удлинился лишь участок между жесткой заделкой и сечением, к которому приложена растягивающая сила, имеющий длину L1 = 2 м.
Учитывая это, определяем силу, вызвавшую удлинение бруса (не забываем привести все величины к единицам системы СИ):

F = (ΔLEA)/L1 = (0,005×10-3×2×1011×0,01)/2 = 5000 Н = 5,0 кН.

Задача решена.

***

Решение задачи на срез и смятие

Венец зубчатого колеса прикреплен к ступице болтовыми соединениями из шести болтов с гайками, размещенными равномерно по окружности диаметром D.

Определить касательные напряжения сдвига (среза), действующие в каждом из болтов при номинальной нагрузке.
При расчете не учитывать ослабление стержня болта впадинами резьбы.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся зависимостью между напряжением среза, внешней нагрузкой и площадью сечения по плоскости среза:

τср = Fокр /A,

где: τср — касательное напряжение среза, Fокр — окружная сила на расстоянии от оси вращения до центра болта, A — площадь сечения (в нашем случае — площадь поперечного сечения 6 болтов).

Окружную силу можно определить, зная крутящий (вращающий) момент на валу зубчатого колеса и расстояние от оси вращения зубчатого колеса до центра болта:
Fокр = 2Мкр/D.
Площадь сечения одного болта: А(1) = πd2/4, шести болтов: А = 3πd2/2 .
Подставив эти значения в исходную формулу, определим касательное напряжение сдвига (среза) болта:

τср = Fокр /A = (2Мкр/D) / (3πd2/2) = (2×10/0,4) / (3×3,14 0,012/2) ≈ 106 000 Па (или 0,106 МПа).

Задача решена.

***



Решение задачи на срез и смятие шпонки

Произвести проверочный расчет призматической шпонки на смятие.

Решение:

Решение задачи сводится к определению напряжения смятия, возникающего в продольном сечении шпонки, выступающем над канавкой вала (рабочая площадь шпонки). Это напряжение можно определить из формулы:

σсм = Fокр /Aраб     (1)

где: σсм — искомое напряжение смятия,
Fокр — окружная сила, действующая на рабочую поверхность шпонки: Fокр = Т/r.

Учитывая, что высота рабочей поверхности шпонки невелика, можно принять для расчета напряжения окружную силу, действующую на расстоянии r от оси вращения вала (радиус вала). Если необходимо выполнить более точный расчет, следует к радиусу вала прибавить половину высоты рабочей поверхности шпонки (в нашем случае — h/4).

Aраб — площадь шпонки, подвергаемая смятию: Aраб = hlр /2 (здесь lр — рабочая длина шпонки).

Подставив полученные значения окружной силы и площади шпонки, работающей на смятие, в формулу (1), получим:

σсм = Fокр /Aраб = (Т/r) / (hlр /2) = (120/0,03) / (0,003×0,03/2) = 88 900 000 Па (или 88,9 МПа).

Полученное напряжение сравниваем с допускаемым напряжением смятия [σсм] = 200 МПа, и делаем вывод, что шпонка выдержит нагрузку.

Задача решена.

***

Решение задачи на кручение

Построить эпюру вращающих моментов для круглого однородного бруса, представленного на схеме. Указать наиболее нагруженный участок бруса и определить напряжение в его сечениях.

Решение:

Построение эпюр вращающих (крутящих моментов) начинаем со стороны свободного конца бруса, откладывая величины крутящих моментов от оси абсцисс (нулевой ординаты) бруса с соблюдением знаков моментов (см. схему).

Из эпюры очевидно, что максимальный крутящий момент возникает в сечениях участка I: Мкр = 500 Нм. Для определения напряжения (при кручении возникает касательное напряжение), воспользуемся зависимостью, полученной ранее:

τmax = Мкр / Wr ,

где: Wr ≈ 0,2d3 — момент сопротивления круглого сечения кручению (или полярный момент сопротивления круглого сечения).

Подставив полученные зависимости и их числовые значения в формулу, получим максимальное напряжение τmax, возникающее в сечениях участка I при кручении бруса:

τmax≈ Мкр / 0,2d3 ≈ 500/0,2×0,053≈ 200 000 000 Па (или 200 МПа).

Задача решена.

С правилами и примерами построения эпюр при деформации кручения можно ознакомиться здесь.

***

Решение задачи на изгиб

Определить максимальное нормальное напряжение, возникающее в сечении круглого бруса, расположенном рядом с жесткой заделкой, если к свободному концу бруса приложена поперечная сила F.
Вес бруса не учитывать.

Исходные данные:

Поперечная сила F = 1000 Н;
Длина бруса L = 5 м;
Диаметр бруса d = 0,1 м.

Решение:

Изгибающий момент силы F и возникающие в сечениях бруса напряжения зависят от расстояния между линией приложения (вектором) силы и плоскостью рассматриваемого сечения (очевидно, что величина изгибающего момента находится в прямо пропорциональной зависимости от расстояния до вектора силы). Поэтому для данного бруса изгибающий момент достигает максимального значения в сечении рядом с жесткой заделкой:

Миmax = FL = 1000×5 = 5000 Нм.

Максимальные нормальные напряжения в этом сечении можно определить по формуле:

σmax = Миmax / W,

где: W ≈ 0,1d3 — момент сопротивления круглого сечения изгибу (или осевой момент сопротивления круглого сечения). Подставив зависимости и их величины в формулу, получим:

σmax≈ Миmax / 0,1d3≈ 5000/0,1х0,13≈ 50 000 000 Па (или 50 МПа).

Задача решена.

***

Решение задачи на изгиб с построением эпюр

Построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов, действующих на защемленный одним концом брус (см. схему).

Решение:

Для построения эпюр определим границы участков бруса, в пределах которых внешние нагрузки и размеры сечений одинаковы. Для данного бруса можно выделить два таких участка (см. схему).

Далее, используя метод сечений, строим эпюру поперечных сил, учитывая знаки. Очевидно, что на первом участке поперечная сила будет постоянной во всех сечениях, и эпюра представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси эпюры на величину -F (сила отрицательная).

В среднем сечении бруса начинает действовать распределенная нагрузка, которая линейно увеличивается и суммируется с поперечной силой F в каждом последующем сечении бруса по направлению к жесткой заделке. Поскольку эпюра поперечных сил на втором участке представляет собой отрезок наклонной прямой, то для ее построения достаточно определить величину поперечной силы в середине бруса (очевидно, что здесь F = 50 Н) и величину поперечной силы в сечении рядом с жесткой заделкой:
F2 = -FL — 6q = -50 — 10×6 = -110 Н.
По полученным значениям строим эпюру поперечных сил F (см. схему).

Построение эпюры изгибающих моментов строится аналогично эпюре поперечных сил — при помощи метода сечений. При этом учитывается расстояние от сечения, в котором приложена поперечная сила, до рассматриваемого сечения (плечо силы).
Очевидно, что изгибающий момент от силы F будет увеличиваться прямо пропорционально по мере удаления от сечения, к которому она приложена, причем в крайнем сечении (где приложена сила) момент этой силы равен нулю (поскольку плечо силы равно нулю).
В среднем сечении бруса изгибающий момент достигает значения: Ми = FL/2 = -50×6 = -300 Нм .

Начиная с середины бруса начинает действовать изгибающий момент от распределенной нагрузки q, который в каждом сечении определяется, как произведение приведенной силы Fпр = ql на половину расстояния l (здесь l — расстояние от рассматриваемого сечения до начала действия распределенной нагрузки).
Очевидно, что по мере удаления от среднего сечения к жесткой заделке изгибающий момент от распределенной нагрузки q изменяется по квадратичной зависимости, и линия эпюры изгибающих моментов на втором участке представляет собой параболу.

Чтобы построить параболу недостаточно двух точек, необходимо определить величину изгибающего момента в нескольких сечениях бруса (на втором участке). При этом следует учитывать изгибающий момент от силы F, который суммируется с изгибающим моментом от распределенной нагрузки q на данном участке бруса.
Максимальной величины изгибающий момент достигает в сечении рядом с жесткой заделкой:

Миmax = — FL + [-q×(L/2)×(L/4)] = -50×12 + [-10×(12/2)×(12/4)] = -780 Нм.

Выполнив необходимые подсчеты, строим эпюру изгибающих моментов, начиная со свободного конца бруса (см. схему).

Задача решена.

***

Пример расчета бруса (стержня)

Сопротивление материалов