Построить эпюры перемещений поперечных сечений брусьев

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение  .

1. Определим опорные реакции.

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру МF.

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим т.К в середине нагрузки.

Строим эпюру МF  от заданной нагрузки.

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

Подбираем 2 швеллера №33 см3.

Проверим прочность подобранного сечения.

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент .

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп , определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.МF– все положительные, эп. – тоже.

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

Определим момент инерции Iх для сечения.

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·105 МПа = 2·108 кПа. Тогда:

Угол поворота φА получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φВ. (рис.г,д )

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп.  от единичной силы (рис.ж).

Рассмотрим рис. е.

Строим эп. :

Определим прогиб в т. С.

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов  (рис. и).

(знак «— « говорит о том, что реакция RА направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп.   , 

Поскольку m=1 приложен в т. С   пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил. 

Определим прогиб в точке С.

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим уD .  (рис. к).

Строим эп.  (рис.л) :

Определим φD  (рис. м):

Строим эп.   — (рис.н).

Определим угол поворота:

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию), которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

Проверим жесткость балки  , где f – максимальный прогиб.

Максимальный прогиб   — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.

Задача. Определить горизонтальное перемещение свободного конца рамы по интегралу Мора

1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу  (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент  (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения.  В нашей задаче прикладываем горизонтальную единичную силу. Составляем выражение изгибающего момента.

Определяем моменты от единичной нагрузки F=1

По интегралу Мора вычисляем горизонтальное перемещение:

Перемещение имеет положительное значение. Это значит, что оно соответствует направлению единичной силы.

Интеграл Мора, формула Мора. В криволинейном брусе определить горизонтальное перемещение точки А. Жесткость в пределах всей длины бруса постоянна. 

Ось бруса очерчена по параболе, уравнение которой:

Учитывая, что брус безраспорный и достаточно пологий (f/ι = 3/15 = 0,2), влиянием продольных и поперечных сил пренебрегаем. Поэтому для определения перемещения воспользуемся формулой:

 Так как жесткость EJ постоянна, то:

Составим выражение M1 для действительного состояния бруса (1-го состояния) (рис. а):

Снимаем с бруса все нагрузки и  прикладываем в точке А горизонтальную единичную силу (2-е состояние) (рис. б).  Составляем выражение для :

Вычисляем искомое перемещение в точке А:

Знак минус указывает на то, что перемещение точки А противоположно направлению единичной силы, т.е. это точка смещается по горизонтали влево.

Интеграл Мора, формула Мора.Определить угол поворота шарнирной опоры  D для рамы с определенными опорными реакциями,  Жесткости элементов указаны на расчетной схеме.

Составим выражение М1, используя схему системы в 1-м состоянии. М1 – функция внутреннего изгибающего момента на силовом участке для заданной балки или рамы от действия заданных нагрузок 1-го состояния.

Освобождаем раму от нагрузок, прикладываем единичный момент на опоре D, получаем систему второго состояния.

Составляем выражения  — это функция внутреннего изгибающего момента на силовом участке для вспомогательной системы 2- го состояния, нагруженной единичным усилием:Находим искомое перемещение — угол поворота по формуле (интегралу) Мора:Значение угла поворота положительно, значит направление соответствует выбранному направлению единичного момента.

Интеграл Мора (формула Мора). Для рамы определить горизонтальное перемещение точки C. Жесткости элементов указаны на рисунке. Назовем заданную систему системой первого состояния. . Составляем для каждого элемента выражение М₁, пользуясь схемой 1-го состояния системы:

Снимаем с рамы все нагрузки и получим 2-е состояние рамы, приложив по направлению искомого перемещения горизонтальную единичную силу.    Составляем выражение единичных моментов  : . Вычисляем по формуле (интегралу) Мора  искомое перемещение: 

Тогда получим:

Знак минус указывает, что направление перемещения противоположно направлению единичной силы.

Для стальной балки подобрать размеры поперечного сечения, состоящего из двух двутавров, на основе условия прочности по нормальным напряжениям, построить эпюры линейных и угловых перемещений. Дано: 

Расчет опорных реакций и значений грузовой эпюры (эпюры изгибающих моментов) приводить не будем, покажем без расчетов. Итак, грузовая эпюра моментов:

При этом на эпюре М у значений изгибающих моментов отсутствуют знаки, указываются волокна, испытывающие сжатие. Как видно из эпюры, в опасном сечении: МС=Мmax=86,7кНм. 

Подберем сечение из двух двутавров. Из условия прочности: 

Согласно сортаменту прокатной стали выбираем двутавр №27а, у которого Ix1=5500см3, h=27см. Фактическое значение осевого момента сопротивления всего сечения Wx=2Ix1/(h/2)=2·5500/(27/2)=815см3.

Вычисляем линейные и угловые перемещения сечения балки методом О.Мора, применяя формулу Симпсона. Выбор количества сечений, необходимого для построения эпюр линейных и угловых перемещений в балке, зависит от числа участков и характера эпюры изгибающих моментов. В рассматриваемой балке к  таким можно отнести сечения А, B, C, D (принадлежат границам силовых участков) и сечения 1, 2, 3 – в середине участков (определение перемещений в этих сечениях повышает точность построения эпюр).

Сечение А. Как известно, линейное перемещение сечения в шарнирной опоре yA=0.

Для вычисления углового перемещения θа загружаем вспомогательную систему единичной парой сил -моментом, равным единицеУравнения равновесия

Решая уравнения равновесия, получим:

Определяем значения моментов в характерных сечениях

Участок АD: 

В середине участка АВ значение изгибающего момента грузовой эпюры MF равно f=73,3·1- 80·12/2=33,3кНм

Определяем угловое перемещение сечения А по формуле Симпсона:

Угловое перемещение сечения А направлено против часовой стрелки (противоположно действию единичного момента).

Сечение В

Прикладываем в  сечении В силу, равную единице, для определения линейного перемещения, и строим единичную эпюру моментов

Уравнения равновесия:

Из решения уравнений равновесия следует:

Определяем значения моментов в характерных сечениях:

Определяем линейное перемещение yВ.

Линейное перемещение  yВ=3,65×10-3м  направлено вверх (противоположно действию единичной силы).

Для определения углового перемещения в сечении В прикладываем единичный момент и строим единичную эпюру моментов.

В результате «перемножения»  единичной эпюры  и грузовой эпюры  получим угловое перемещение:

Угловое перемещение направлено против часовой стрелки.

Сечение С.

Линейное перемещение:

Линейное перемещение yС=5,4 ×10-3 м направлено вверх.

Угловое перемещение: