Построить эпюры продольной силы напряжения и перемещения для ступенчатого бруса

Оцените сложность задачи:

0 голосов, средняя сложность: 0.0000

Двух ступенчатый стальной брус нагружен силами: F1=20 кН; F2=10 кН; F3=5 кН. Площади поперечных сечений бруса: A1=1,8 см2; A2=3,2 см2. a=0,2 м. Принять E=2х100000 МПа, [σ]=160 МПа. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений. Определить перемещение конца бруса.

Брус закреплен в стене — закрепление заделка. Сечения бруса круглой формы

$ S = frac{πd^{2}}{4} $

Находим диаметры ступеней бруса.

$ d = sqrt{frac{4S}{π}} $

$ d_{1}=15,14 мм; d_{2}=20,19 мм $

Делим брус на участки нагружения (части бруса
между внешними силами) — участки 1, 2 и 3.

Используем метод сечений для определения
внутренних силовых факторов, действующих на каждом
участке (при этом внутренние силы переходят в разряд
внешних):

Участок 1. Проецируем силы действующие на участок на ось х и составляем уравнение равновесия

$ ΣF_{x} = 0; -F_{3}+N_{1}=0; N_{1}=F_{3}=5 кН $

Продольная сила N1 положительна. Участок 1 сжат.

Участок 2. Проецируем силы действующие на участок на ось х и составляем уравнение равновесия

$ ΣF_{x} = 0; -F_{3}-F_{2}+N_{2}=0; N_{2}=F_{3}+F_{2}=5+10=15 кН $

Продольная сила N2 положительна. Участок 2 сжат.

Участок 3. Проецируем силы действующие на участок на ось х и составляем уравнение равновесия

$ ΣF_{x} = 0; -F_{3}-F_{2}+F_{1}+N_{2}=0; N_{3}=5+10-20=-5 кН $

Продольная сила N3 отрицательна. Участок 3 растянут.

Определяем величины нормальных напряжений по сечениям с учетом изменения площади поперечного сечения. Четыре участка по напряжениям:

$ σ_{1} =frac{N_{1}}{A_{1}}=frac{5×10^{3}}{1,8×100}=27,8 frac{Н}{мм^{2}}=27,8 МПа $

$ σ_{2} =frac{N_{2}}{A_{1}}=frac{15×10^{3}}{1,8×100}=83,3 МПа $

$ σ_{3} =frac{N_{2}}{A_{2}}=frac{15×10^{3}}{3,2×100}=46,9 МПа $

$ σ_{4} =frac{N_{3}}{A_{2}}=frac{5×10^{3}}{3,2×100}=15,6 МПа $

Строим эпюры продольных сил и эпюру нормальных напряжений, полагая растягивающие напряжения положительными.

Эпюра продольных сил показывает изменение внутреннего силового фактора по длине бруса: участки I, II и III испытывают деформацию сжатия; участок IV испытывает деформацию растяжения.

Эпюра нормальных напряжений показывает их изменение по длине бруса. Наиболее
опасным участком является участок II. Так как нормальные напряжения на нем максимальны по величине σII=83,3 МПа

Проверяем прочность бруса работающего на растяжение — сжатие:

по условию прочности $ |σ_{max}=83,3 МПа|≤[σ=160 МПа] $

Прочность обеспечена.

На каждом участке определяем абсолютную деформацию (удлинение или сжатие):

$ ∆ℓ_{1} = frac{σ_{1}L_{1}}{E}=frac{-27,8×10^{3}×0,2}{200×10^{3}}=-0,028 мм $

$ ∆ℓ_{2} = frac{σ_{2}L_{2}}{E}=frac{-83,3×10^{3}×0,2}{200×10^{3}}=-0,083 мм $

$ ∆ℓ_{3} = frac{σ_{3}L_{3}}{E}=frac{-469×10^{3}×0,4}{200×10^{3}}=-0,094 мм $

$ ∆ℓ_{4} = frac{σ_{4}L_{4}}{E}=frac{156×10^{3}×0,2}{200×10^{3}}=0,016 мм $

Суммарное удлинение бруса (перемещение свободного конца)

$ ∆ℓ=∆ℓ_{1}+∆ℓ_{2}+∆ℓ_{3}+∆ℓ_{4}=-0,189 мм $

Практическая работа на тему: «Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и абсолютных удлинений/укорочений»

Цель работы: изучить тему, научиться строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и абсолютных удлинений/укорочений.

Ход работы:

1. Изучить теорию.

2. Построить эпюры.

3. Оформить работу.

4. Написать вывод.

Краткая теория:

Продольные силы в поперечных сечениях

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы N, а прочие силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Это самый простой и часто встречающийся вид деформации. Обычно он наблюдается когда внешняя нагрузка действует вдоль продольной оси стержня. Продольной осью стержня называется линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений.

Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис.1.

Рис. 1

Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня, расчетная схема в рассматриваемых случаях (рис. 1, а, б) оказывается единой (рис. 1, в) согласно принципу Сен – Венана.

Если воспользоваться методом сечений (рис. 2.), то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы Nz, равные силе F (рис. 2, б).

Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы Nz. При растяжении нормальная сила Nz  направлена от сечения (рис. 2, б), а присжатии – к сечению.

Рис. 2

Растягивающие продольные силы принято считать положительными (рис. 3, а), а сжимающие – отрицательными (рис. 3, б).

Рис. 3

 Продольные силы (Nz), возникающие в поперечных сечениях стержня, определяются по внешней нагрузке с помощью метода сечений.

График, показывающий изменение продольных сил по длине оси стержня, называется эпюрой продольных сил (эп. Nz). Он дает наглядное представление о законе изменения продольной силы.

 Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти Nmax при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

Необходимо установить границы участков, в пределах которых закон изменения внутренних сил постоянный. Границами таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется перелом стержня.

Применяя метод сечений и учитывая правила знаков изложенные выше, получаем уравнения изменения внутренних сил в пределах длины каждого участка бруса. Затем, используя, полученные зависимости строим графики (эпюры) этих усилий. Ординаты эпюр в определенном масштабе откладываем от базисной линии, которую проводим параллельно оси бруса.

Таким образом, на основании метода сечений продольная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения, на его продольную ось.

Причем проекция внешней силы берется со знаком плюс, если сила растягивает часть стержня от точки ее приложения до рассматриваемого сечения и, наоборот, со знаком минус – если сжимает.

Пример 1.

Пусть имеется стержень постоянного поперечного сечения, нагруженный силами 2Р и 3Р вдоль продольной оси стержня, показанный на рис.5. Определить величину внутренних сил.

Рис.5.

Решение.

Стержень может быть разделен на два участка, граничными точками которых являются точки приложения сосредоточенных сил и точка закрепления. Если начало координат расположить на правом конце стержня, а ось z направить справа налево, то, используя метод сечений, рассекая последовательно участки, отбрасывая левую часть, заменяя ее действие внутренними усилиями N, Qy, Mx и уравновешивая оставшуюся часть, получим:

I участок: 

Как видно, при растяжении в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор — нормальная сила N.

II участок: 

Таким образом, нормальная сила равна алгебраической сумме проекций сил, приложенных к отсеченной части на продольную ось 

Полученные результаты для большей наглядности удобно представить в виде графика, (эпюры N), показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня (рис.2.4.1). Построим на первом участке линию параллельную оси z на высоте 2Р, на втором участке – линию со значением —Р. Области ограниченные графиком и осью z принято штриховать и обозначать знак этой области. Видно, что наибольшая продольная сила возникает на первом участке стержня и, как следствие, при прочих равных условиях, он скорее может разрушиться, чем второй участок.

Напряжение в поперечных сечениях стержня

Нормальная сила N приложена в центре тяжести сечения, является равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответствии с этим, определяется следующим образом:

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нормальных  напряжений в поперечных сечениях стержня. Для этого обратимся к анализу характера его деформирования.

Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямоугольную сетку (рис. 2.2, б), то после нагружения поперечные линии а-а, b-b и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли).

Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях, а следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и равны

где A — площадь поперечного сечения стержня.

В сечениях, близких к месту приложения внешних сил, гипотеза Бернулли нарушается: сечения искривляются, и напряжения в них распределяются неравномерно. По мере удаления от сечений, в которых приложены силы, напряжения выравниваются, и в сечениях, удаленных от места приложения сил на расстояние, равное наибольшему из размеров поперечного сечения, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно. Это положение, называемое принципом Сен-Венана, позволяет при определении напряжений в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения внешних сил, не учитывать способ их приложения, заменять систему внешних сил статически эквивалентной системой. Например, экспериментально установлено, что во всех трех случаях нагружения стержня (рис. 5, а) значения напряжений в сечениях, удаленных от крайних сечений на расстояние не менее высоты сечения h, одинаковы:  (рис. 5, б), а в сечениях, близких к местам приложения внешних сил, распределения напряжений по сечению существенно различны (рис. 5, в).          

Рис.5

Высказанное предположение о равномерном распределении нормальных напряжений в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест: резкого изменения площади поперечного сечения (рис. 5, в); скачкообразного изменения внешних нагрузок; скачкообразного изменения физико-механических характеристик конструкций.

Нормальные напряжения при сжатии определяют также, как и при растяжении, но считают отрицательными.

Деформации и перемещения. Закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим — свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р (рис. 6). До нагружения стержня его длина равнялась l — после нагружения она стала равной  (рис. 6). Величину  называют абсолютной продольной деформацией (абсолютным удлинением) стержня. В большинстве случаев оно мало по сравнению с его первоначальной длиной l (∆l<<l).

Рис. 6

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых условиях, деформация  остается одной и той же по длине стержня и равной

Величина ε называется относительной продольной деформацией.

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряженное состояние, то для определения его абсолютного удлинения необходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.8). При растяжении он увеличит свою длину на величину  и его деформация составит:

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации ):

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.

Из совместного рассмотрения уравнений (2.5) и (2.6) получим:

откуда с учетом того, что

окончательно получим:

Если стержень изготовлен из однородного изотропного материала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.7) получим

Зависимость (2.8) также выражает закон Гука. Знаменатель EA называется жесткостью при растяжении — сжатии или продольной жесткостью.

Задача №1.

Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и абсолютного удлинения/укорочения. Данные для своего варианта взять из таблицы. Е=115∙109Па.

Номер варианта

Номер схемы

F1, кН

F2, кН

F3, кН

A1, см2

A2, см2

1

1

10

16

12

5

8

2

2

6

14

8

1,2

3,5

3

3

5

10

14

4

9

4

4

12

14

8

12

7

5

5

14

17

9

10

5

6

6

25

12,5

15

13

15

7

7

36

8

22

5

7

8

8

15

6

26

2

8

9

9

2

8

5

4

6

10

10

7

17

9

8

10

11

1

9

13

17

9

4

12

2

7,5

10

6,8

10

5

13

3

6,8

11

12

13

7

14

4

2,4

5

7

15

18

15

5

3

9

4

17

12

16

6

12

3

5

1,9

2,8

17

7

13

17

22

4,5

5,5

18

8

18

21

30

15

11

19

9

19

14

23

7

10

20

10

20

26

32

12,5

8,5

21

1

6

32

15

10

6

22

2

7

40

20

8

12

23

3

22

10

17

16

9

24

4

28

5

16

3

8

25

5

32

8

24

15

10

26

6

14

9

5

4

7

27

7

23

18

12

12

10

28

8

24

3,5

18

10

5

29

9

10

4,2

9

8

4

30

10

2

12

8

3

5,8

Задача №2 Е=2∙106 МПа

Номер

варианта

Номер схемы

А, см2

F1, кН

F2, кН

L1, м

L2, м

L3, м

1

1

10

10

18

1

1,2

2,2

2

2

12

15

10

0,8

0,5

1,3

3

3

14

20

36

1,4

2

1

4

4

18

36

42

0,4

0,6

0,8

5

5

12

25

36

1,4

0,5

0,1

6

6

5

9

12

0,8

0,6

0,3

7

7

4

2

8

1,2

1,5

0,8

8

8

2,5

8

5

3

2,5

1,5

9

9

3

5

2

0,8

0,2

1,2

10

10

7

5

12

1

1

1,5

11

1

4

6

10

0,2

0,7

1

12

2

10

40

27

1,8

2,4

3

13

3

1,5

8

16

0,5

0,5

0,5

14

4

4,6

4

6

0,2

0,4

0,4

15

5

2

10

14

1,2

1,9

2

16

6

7

6

13

1,2

0,8

1

17

7

9

12

7

1,5

1,2

1,3

18

8

10

25

17

2,2

1,8

2

19

9

2,8

9

15

1

1

1

20

10

3,2

10

16

0,4

0,7

1,3

21

1

4

14

10

0,6

1

0,8

22

2

5,5

13

5

1,2

0,6

1

23

3

2

8

4

1

0,5

0,5

24

4

12

29

19

2,2

2,1

2

25

5

8,5

23

28

1,4

0,8

1

26

6

5

8

14

0,3

0,2

0,1

27

7

6

12

8

0,5

0,8

1

28

8

3,7

10

4

0,1

0,5

0,7

29

9

12

36

25

1

1,2

0,6

30

10

2,8

12

7

0,4

0,6

1,4

Задача №3

Е=3,1∙109Па

Номер варианта

Номер схемы

А1, см2

А2, см2

F1, кН

F2, кН

1

31

1

4

10

12

2

32

2

8

15

19

3

33

3

5

23

28

4

34

5

2

22

18

5

35

7

10

12

8

6

36

8

6

4

9

7

37

9

11

6

9

8

38

11

7

12

17

9

39

2,5

5

3

6

10

40

3.8

7

5

8

11

31

1.2

2.5

12

8

12

32

4

2.2

10

8,5

13

33

5

8

8

4

14

34

12

8

7

5

15

35

2.2

5.5

6

3,6

16

36

3.4

2.2

5

11

17

37

5

3

4

10

18

38

8

2

3

1,5

19

39

10

12

8,5

5

20

40

12

6

14

8

21

31

2.4

6.5

6,6

14,5

22

32

4

2

8

4

23

33

1.5

3.2

8

3,6

24

34

1.8

2.8

10

4,5

25

35

3

4

6

5

26

36

6

9

7

12

27

37

2.2

1.2

3,8

16

28

38

12

9

9

17

29

39

2.4

2.8

12

8

30

40

4

2.2

13

10