Построить эпюры ступенчатого бруса
Построение эпюр продольных сил — формулы, условия и примеры решения задач
Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.
Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.
Но всему свое время. Сначала немного о терминах.
Основные понятия
Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.
Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.
Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.
Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.
В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).
Что такое эпюра продольных сил
Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.
Как построить эпюру продольных сил
Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.
Сопротивление рассчитывается по формуле:
где:
Fl – действующие на участке l силы (Н);
ql – распределенные нагрузки (Н/м).
Порядок построения:
1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;
2. Производится разделение на участки;
3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:
Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;
4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.
Рис. 1. Эпюра продольных сил
Рассмотрим случай:
F1 = 5 (кН);
F2 = 3 (кН);
F3 = 6 (кН).
Вычислим:
Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.
Пример построения эпюр и решения задач
Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):
Рис. 2
Дано:
Решение.
Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:
Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.
Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.
По полученным данным строим эпюру (рис. 3).
Рис. 3
Заключение
Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.
В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.
Источник
СОПРОМАТ ГУРУ. Расчет балки онлайн. Построение эпюр
Расчет рамы/фермы
Расчет
статически-неопределимых систем
Расчет
методом конечных элементов
Построение
эпюры моментов (М)
Построение
эпюры поперечных сил (Q)
Построение
эпюры продольных сил (N)
Построение
эпюры моментов (М)
Построение
эпюры поперечных сил (Q)
Построение
эпюры продольных сил (N)
Расчет
геометрических характеристик поперечного сечения
Определение
центра тяжести, моментов инерции, моментов сопротивления
Формирование
подробного отчета
Расчет
столбчатого фундамента
Расчет
ленточного фундамента
Формирование
подробного отчета
Расчет
статически-неопределимых систем
Расчет
методом конечных элементов
Построение
эпюры моментов (М)
Построение
эпюры поперечных сил (Q)
Построение
эпюры продольных сил (N)
Источник
Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами
Примеры решения задач
Ступенчатый брус нагружен вдоль
оси двумя силами. Брус защемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом
бруса, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Рис. 20.6 Перемещения поперечных сечений брусьев в статически определимых
задачах
Решение
Определяем
участки нагружения, их два.
Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.
Строим
эпюру.
Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим
эпюру нормальных
напряжений в собственном произвольном масштабе.
1. Определяем продольные
силы.
Сечение 1.
– N1 + F1 = 0; N1 = F1 = 100 кН.
Сечение 2. — 80 — N2 + 100 = 0; N2 = 100
— 80 = 20 кН.
В обоих сечениях продольные силы положительны.
2.
Определяем нормальные напряжения .
Сопоставляя участки нагружения с границами изменения
площади, видим, что образуется 4 участка напряжений. Нормальные напряжения в сечениях
по участкам:
; ;
;
.
Откладываем значения напряжений
вверх от оси, т. к. значения иx положительные (растяжение). Масштаб эпюр продольной
силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр
и имеющегося на листе места.
Растяжение и сжатие.
Продольные
и поперечные деформации.
Закон Гука
Иметь представление о продольных
и поперечных деформация! и их связи.
Знать закон Гука, зависимости и формулы
для расчета напряжений и перемещений.
Уметь проводить расчеты на прочность
и жесткость статически определимых брусьев при растяжении и сжатии.
Деформации
при растяжении и сжатии
Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной
силы F (рис. 21.1).
Рис. 21.1 | Начальные размеры бруса: lo – начальная длина, ао — начальная ширина. Брус При сжатии выполняется соотношение Δl < 0; Δа В сопротивлении материалов принято рассчи- |
тывать
деформации в относительных единицах:
;
ε — относительное удлинение;
;
ε’ – относительное сужение.
Между продольной и поперечной деформациями
существует зависимость
ε’ = με,
где μ — коэффициент
поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, -характеристика пластичности
материала.
Закон Гука
В пределах упругих деформаций деформации прямо
пропорциональны нагрузке:
F = kΔl,
где F — действующая нагрузка;
k — коэффициент.
В современной форме:
;
.
Получим зависимость σ=Eε,
где Е — модуль упругости, характеризует жесткость материала.
В пределах
упругости нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению.
Значение
Е для сталей в пределах (2÷2,l) • 105 МПа.
При прочих равных условиях,
чем жестче материал, тем меньше он деформируется:
.
Формулы
для расчета перемещений поперечных
сечений бруса при растяжении и сжатии
Используем
известные формулы.
Закон Гука σ=Eε.
Откуда .
Относительное удлинение .
В результате получим зависимость между нагрузкой,
размерами бруса и возникающей деформацией:
;
;
или ,
где Δl — абсолютное удлинение,
мм;
σ — нормальное напряжение, МПа;
/ — начальная длина, мм;
Е
— модуль упругости материала, МПа;
N — продольная сила, Н;
А — площадь
поперечного сечения, мм2;
Произведение АЕ называют жесткостью сечения.
Выводы
Абсолютное
удлинение бруса прямо пропорционально вели
чине продольной силы в сечении,
длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.
Связь
между продольной и поперечной деформациями завис
от свойств материала, связь
определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации.
Коэффициент
Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0: у резины μ
= 0,5.
3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют
на
работоспособность детали; при необходимости поперечная деформация рассчитывается
через продольную.
; ; откуда Δа = ε’а0 ,
где
Δа — поперечное сужение, мм; ао — начальный поперечный размер, мм.
4.
Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях
на растяжение по диаграмме растяжения (рис. 21.2).
Рис. 21.2 | При работе пластические деформации не должны возникать, упругие деформации На |
5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой
(не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.
Примеры
решения задач
Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис.
21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.
Решепие
1.
Брус ступенчатый, поэтому следует построить эпюры продольных сил и нормальных
спряжений.
Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы,
строим эпюру продольных сил.
2. Определяем величины нормальных напряжений
по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.
Строим эпюру
нормальных напряжений.
3. На каждом участке определяем абсолютное удлинение.
Результаты алгебраически суммируем.
Примечание. Балка защемлена, в заделке
возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца
(справа).
1. Два участка нагружения:
участок 1: N1 = + 25 кН; растянут;
участок
2: 25 – 60 + N2 = 0; N2 = — 35 кН; сжат.
2. Три участка по напряжениям:
;
;
; ; ; 3. Удлинения участка (материал ; ; ; 4. Суммарное удлинение Δl = Δl2 + Δl3 ; Δl |
Рис. 21.3 |
Источник