Построить эпюры внутренних сил бруса
Построение эпюр продольных сил — формулы, условия и примеры решения задач
Построение эпюр продольных сил – это решение статически определимой задачи. Производится для выявления картины нагрузки упругого тела. Вернее, уточнения ее схематизации.
Необходимо для определения наиболее напряженного, так называемого «опасного» сечения. Затем методами сопромата (сопротивления материалов) проводится анализ с прогнозированием перемещений элементов конструкции.
Но всему свое время. Сначала немного о терминах.
Основные понятия
Брусом (балкой) называют тело, вытянутое вдоль оси. То есть длина преобладает над шириной и высотой.
Если имеются только осевые (продольные) силы, то объект подвергается растяжению/сжатию. В этом случае в материале возникают только нормальные поперечному сечению силы противодействия и тело считают стержнем.
Статическая определимость подразумевает достаточность схемы для установления внутренних усилий противодействия. Участок – часть балки с неизменным сечением и характерной нагрузкой.
Правила построения учитывают знаки усилий. Растягивающие принимают положительными, сжимающие – отрицательными.
В системе СИ силы измеряются в ньютонах (Н). Длины в метрах (м).
Что такое эпюра продольных сил
Показывает, какой силой (в нашем предположении нормальной) загружен каждый участок. По всей длине стержня. Иначе говоря, эпюра – наглядное графическое изображение изменения нагрузки по всей длине конструкции.
Как построить эпюру продольных сил
Используется метод сечений. Балка виртуально рассекается на каждом участке и ищется противодействующая N. Ведь задача статическая.
Сопротивление рассчитывается по формуле:
где:
Fl – действующие на участке l силы (Н);
ql – распределенные нагрузки (Н/м).
Порядок построения:
1. Рисуется схема балки и механизмов закрепления;
2. Производится разделение на участки;
3. Для каждого рассчитывается N с учетом знаков. Если у балки есть незакрепленный конец, то начинать удобнее именно с него. В противном случае считается реакция опор. И оптимальнее выбирать сечение с меньшим количеством действующих факторов:
Нетрудно заметить, что последнее уравнение дает еще и реакцию опоры;
4. Параллельно оси стержня намечается база эпюры. Положительные значения масштабировано проставляются выше, отрицательные – ниже. Эпюру наглядно совмещать с расчетной схемой. Итоговый результат и промежуточные сечения показаны на рис. 1.
Рис. 1. Эпюра продольных сил
Рассмотрим случай:
F1 = 5 (кН);
F2 = 3 (кН);
F3 = 6 (кН).
Вычислим:
Проверить эпюру можно по скачкам: изменения происходят в точках приложения сил на их величину.
Пример построения эпюр и решения задач
Построить эпюру сил для следующего случая (рис. 2):
Рис. 2
Дано:
Решение.
Разбиение на участке вполне очевидно. Найдем сопротивление на выделенных:
Распределенная нагрузка зависит от длины, на которой приложена. Поскольку нарастает линейно, значение N2 будет постепенно увеличиваться/уменьшаться в зависимости от знака q.
Эпюра такого вида усилия представляет собой прямоугольный треугольник с катетами l3 и ql3 (в масштабе). Поскольку распределение линейно.
По полученным данным строим эпюру (рис. 3).
Рис. 3
Заключение
Приведенный алгоритм является предварительным этапом в расчете модели на прочность. «Слабое» место находится уже с учетом площади поперечного сечения.
В сети имеются онлайн сервисы для помощи в расчетах при вычерчивании. Но стоит ли ими пользоваться, если процедура настолько проста? Если не запутаться в знаках, конечно. Это самая распространенная ошибка.
Источник
СОПРОМАТ ГУРУ. Расчет балки онлайн. Построение эпюр
Расчет рамы/фермы
Расчет
статически-неопределимых систем
Расчет
методом конечных элементов
Построение
эпюры моментов (М)
Построение
эпюры поперечных сил (Q)
Построение
эпюры продольных сил (N)
Построение
эпюры моментов (М)
Построение
эпюры поперечных сил (Q)
Построение
эпюры продольных сил (N)
Расчет
геометрических характеристик поперечного сечения
Определение
центра тяжести, моментов инерции, моментов сопротивления
Формирование
подробного отчета
Расчет
столбчатого фундамента
Расчет
ленточного фундамента
Формирование
подробного отчета
Расчет
статически-неопределимых систем
Расчет
методом конечных элементов
Построение
эпюры моментов (М)
Построение
эпюры поперечных сил (Q)
Построение
эпюры продольных сил (N)
Источник
Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента для балок. Часть 1
Пример 1.
Построить эпюры внутренних усилий Qy, Mx для балки (см. рис.).
а)
б)
Решение.
1. Определение опорных реакций
Из уравнений равновесия
находим
2. Определение Qy, Mx методом сечений (рис. б) и построение эпюр
Из уравнений равновесия отсеченных частей балки находим:
По полученным значениям строим эпюры (рис. а). Отметим, что сосредоточенный момент не повлиял на характер эпюры Qy. На эпюре моментов сосредоточенный момент вызвал скачок на величину этого момента. Наклон прямых на эпюре моментов одинаков, что соответствует правилу Журавского.
Пример 2.
Построить эпюры Qy, Mx для балки (см. рис. а).
а)
б)
Решение.
1. Определение опорных реакций
Из уравнений равновесия
Находим
2. Определение Qy, Mx методом сечения и построение эпюр
Из уравнения равновесия отсеченной части балки (рис. б) находим
Как видно, график-эпюра – прямая линия, а – квадратичная парабола. Полагая и , находим значения усилий в этих точках.
При значения внутренних усилий а при : Отметим, что в шарнирах моменты всегда равны нулю. На эпюре при перерезывающая сила . Это признак экстремума на эпюре моментов. Вычислим при максимум изгибающего момента
Откладываем полученное значение на графике-эпюре и проводим через три точки параболу. По правилу зонтика и дождика выпуклость параболы обращена к верху, а на перевернутой эпюре моментов – к низу. Эпюра моментов напоминает изогнутую ось балки, изображенную на рис. а пунктиром.
Пример 3.
Построить эпюры Qy, Mx для балки (см. рис. а).
а) б)
Решение.
Методом сечений (рис. б) находим
Поскольку
то эпюра – квадратичная парабола, а – кубическая.
При , . При имеем . Эпюра испытывает экстремум при , когда
Выпуклость эпюры определяется знаком ее второй производной:
Так как вторая производная возрастает, то выпуклость направлена вниз.
Экстремум эпюры моментов имеет место в сечении, где , т.е. на конце консоли при . В этом сечении . Выпуклость кривой определяется по знаку второй производной, то есть по правилу зонтика:
В нашем случае выпуклость направлена вверх.
Пример 4.
Построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов Qy, Mx для балки (см. рис. а), если , интенсивность нагрузки .
а)
б)
Решение.
1. Определение опорных реакций из уравнений равновесия
Составим два независимых уравнения равновесия моментов относительно опор A, B:
Находим опорные реакции
Для статической проверки составляем третье зависимое уравнение равновесия в проекции на вертикальную ось:
Подставляем в это уравнение значения найденных реактивных сил и получаем
Следовательно, опорные реакции определены правильно.
2. Определение Qy, Mx методом сечения и построение их эпюр
Балка имеет два участка AC и CB с различными аналитическими выражениями внутренних силовых факторов.
На первом участке (рис. б) методом сечений с учетом находим
Эпюра − квадратичная парабола, а − кубическая.
При z1=0 имеем , а при z1=2а имеем . Согласно дифференциальным зависимостям Журавского экстремум эпюры Qy имеет место в сечении , где q=0, экстремум эпюры Mx в сечении, где Qy1=0 , что даёт ,
На втором участке (рис. б) методом сечений получаем
При z2=3a Mx2=0 . Эпюра Qy − постоянна, а Mk − наклонная прямая. Максимальный момент определяется по формуле
3. Расчёт на прочность
Условие прочности записываем в виде
Пример 5.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М.
Дано: l1=3,8 м; l2=3,6 м; l3=1,4 м, F=3,8q; M=14,44q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 6.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М.
Дано: l1=3,8 м; l2=3,6 м; l3=1,4 м, F=3,8q; M=14,44q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Пример 7.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М.
Дано: l1=3,8 м; l2=3,6 м; l3=1,4 м, F=3,8q; M=12,96q
Решение.
Находим реакции опор
Проверка
Реакции опор найдены правильно.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 8.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М.
Дано: l1=2 м; l2=3,4 м; l3=2 м, F=3,4q; M=4q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 9.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=2 м; l2=3,4 м; l3=2 м, F=2q; M=11,56q
Решение.
Находим реакции опор
Проверка
Реакции опор найдены правильно.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 10.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=2,3 м; l2=3,4 м; l3=1,8 м, F=3,4q; M=2,65q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 11.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=2,3 м; l2=3,4 м; l3=1,8 м, F=1,8q; M=2,65q
Решение.
Находим реакции опор
Проверка
0=0
Реакции опор найдены правильно.
Рассмотрим сечение 1-1:
M(z1=2,3)1 = 0,76q.2,3 = 1,75q
М (z1=0)=0
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Рассмотрим сечение 4-4:
Пример 12
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=2,4 м; l2=2,8 м; l3=1,8 м, F=2,4q; M=3,24q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Q(z1)=qz1
Q(z1=0)=0
Q(z1=1,8м)=1,8q
M (z1 = 0) = — 3,24q
Рассмотрим сечение 2-2:
Q (z2) = 1,8q
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 13.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=2,4 м; l2=2,8 м; l3=2 м, F=2,8q;M=7,84q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Q(x1) = 0
M (x1) = M = 7,84q
Рассмотрим сечение 2-2:
Пример 14.
Для заданной балки (см.рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=3,2 м; l2=3 м; l3=2 м, F=3,2q; M=10,24q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 15.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=3,2 м; l2=3 м; l3=2 м, F=3q; M=10,24q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 16.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=3,2 м; l2=3 м; l3=2 м, F=3q; M=4q
Решение.
Находим реакции опор
Проверка
0=0
Реакции опор найдены правильно.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 17.
Для заданной балки (см. рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=3,2 м; l2=2,4 м; l3=2 м, F=3,2q; M=10,24q
Решение.
Находим реакции опор
Проверка
Реакции опор найдены правильно.
Рассмотрим сечение 1-1:
Рассмотрим сечение 2-2:
Рассмотрим сечение 3-3:
Пример 18.
Для заданной балки (см.рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=3,6 м; l2=2,6 м; F=3,6q; M=3,24q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Q(z1) = —qz1
Q(z1 = 0) = 0
Q(z1 = 2,6) = 2,6q
M(z1 = 0) = -3,24q
Рассмотрим сечение 2-2:
Q(z2 = 0) = —q
Q(z2 = 3,6) = —q + 3,6q = 2,6q
Пример 19.
Для заданной балки (см.рис.) построить эпюры от силы Q и от момента М
Дано: l1=3,6 м; l2=3,2 м; l3=1,8 м, F=3,6q; M=12,96q
Решение.
Рассмотрим сечение 1-1:
Q(z1) = 3,6q
M(z1) = 12,96q-3,6qz1
M(z1 = 0) = 12,96q
M(z1 = 18) = 12,96q — 3,6q.1,8 = 6,48q
Рассмотрим сечение 2-2:
Q(z2) = 3,6q — qz2
Q(z2 =0) = 3,6q
Q(z2 = 3,2) = -3,2q + 3,6q = 0,4q
Рассмотрим сечение 3-3:
Q(z2 ) = -3,2q + 3,6q = 0,4q
Пример 20.
Построить эпюры Qy и Мх для балки с консолью.
Решение.
1. Определение опорных реакций. Составляем уравнения равновесия:
, RA.2a — qa2 — qa.a/2 = 0,
откуда , RA = 3qa/4
, RВ .2a — qa2- qa . 5a/2 = 0,
откуда RB = 7qa/4
Проверка: , RA — RB + qa = 3qa/4 — 7qa/4 + qa º 0.
2. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.
Э п ю р а Qy. В сечении А происходит скачок вниз на величину реакции RA и QA = —RA. На всём протяжении участков АС и СВ распределенная нагрузка отсутствует (q = 0), поэтому эпюра Qy представляется отрезком прямой, параллельной оси абсцисс. Наличие пары сил на эпюре Qy не отражается. В сечении В происходит скачок вверх, равный по величине приложенной реакции RB, и правее этого сечения имеем QBD = QBC +RB= -3qa/4 + 7qa/4 = qa. На участке BD поперечная сила изменяется по линейному закону (Qy = Qo-qz) от Qo = QBD = qa до QD = QBD — qa = 0. По условию загружения балки в сечении D нет сосредоточенной силы, поэтому QD=0. Совпадение значений QD, полученных независимо друг от друга, служит проверкой правильности построения эпюры Qy.
Э п ю р а Мх. Она строится по формуле Мх= Мо + . На опоре А нет пары сил, поэтому МА =0. На участке АС момент изменяется по линейному закону. Находим момент в сечении, бесконечно близком слева от точки С: МСА = Мо + = -3 qa/4 = -3qa2/4. По двум точкам (А и С) строим наклонную прямую. Пара сил, приложенная в сечении С, вызывает растяжение нижних волокон балки при движении слева направо, поэтому на эпюре Мх скачок вниз и в бесконечно близком сечении справа от точки С изгибающий момент равен: MCB = MCA + qa2 = qa2/4. Находим момент в сечении В: MB = MCB + = qa2/4 — 3qa2/4 = —qa2/2 и по двум точкам строим наклонную прямую. На участке BD момент изменяется по квадратичному закону, достигая в сечении D значения, равного MD = MB + = —qa2/2 + (1/2)qa.a = 0. С другой стороны, по условию загружения балки на свободном конце MD = 0. Совпадение результатов служит проверкой правильности построения эпюры Мх. По двум точкам (В и D) приближенно строим параболу, обращенную выпуклостью вниз (в направлении нагрузки q). Вершина параболы совпадает с точкой D, так как QD = 0.
Продолжение статьи смотрите по ссылке…
Источник
Правила построения эпюр в сопромате.
Сопротивление материалов
Построение эпюр в сопромате
Прикладное значение науки сопротивление материалов заключается в возможности определения основных критериев работоспособности деталей машин и различных конструкций – прочности, деформации и устойчивости. 
Применяя метод сечений в сочетании с приемами статики и других разделов прикладной механики, можно определить напряжения, возникающие в том или ином сечении бруса (детали, элемента конструкции), и, исходя из анализа полученного результата, сделать выводы о работоспособности этого бруса при приложении к нему расчетных нагрузок.
Именно напряжение является основным фактором, влияющим на прочностные характеристики элемента конструкции, а также его способность противостоять деформации. По этой причине в сопромате главной задачей, чаще всего, является определение напряжений, возникающих в том или ином сечении детали или элемента конструкции.
Для удобства анализа напряженности отдельных участков и сечений конструкции (бруса) используют графическое изображение нагрузок и напряжений в каждом сечении. Это позволяет визуально анализировать распределение нагрузок и напряжений по всей длине бруса, определять при этом наиболее нагруженные (критические) участки и сечения. Такие графические изображения нагрузок, напряжений, а также деформаций элементов конструкций называют эпюрами.
При анализе степени напряженности и деформирования элемента конструкции (детали, бруса) наиболее часто производят построение следующих типов эпюр:
- эпюры внутренних сил (продольных или поперечных), действующих в сечениях бруса;
- эпюры вращающих (крутящих) моментов;
- эпюры изгибающих моментов;
- эпюры напряжений (нормальных или касательных);
- эпюры перемещений (удлинений, укорочений, прогибов и т. п.).
Иногда на одной эпюре показываются несколько внутренних силовых факторов (эпюра продольных и поперечных сил, эпюра изгибающего и вращающего моментов), но такие эпюры при сложных нагрузках и переменных сечениях бруса сложны для чтения.
Как упоминалось выше, наиболее важную информацию о прочностных характеристиках элемента конструкции (бруса), т. е. способности противостоять разрушению, можно получить, используя эпюры напряжений, а информацию о степени деформации под действием расчетной нагрузки – по эпюрам перемещений.
Эпюры внутренних усилий и моментов в большинстве случаев не дают полной информации о степени напряженности и деформирования отдельных сечений и участков бруса, а являются промежуточным звеном при построении эпюр напряжений и перемещений, особенно если брус имеет ступенчатую форму или переменное поперечное сечение по длине.
***
Правила построения эпюр
При построении эпюр придерживаются определенных стандартных правил, позволяющих одинаково читать, истолковывать и анализировать эпюру всем участникам процесса конструирования изделия.
Построение эпюры начинают с изображения нулевой линии, которая символизирует линию бруса в ненапряженном состоянии. При этом, если брус имеет сложную пространственную форму, нулевая линия эпюры повторяет контуры центральной (осевой) линии бруса, и имеет такую же пространственную форму.
Нулевую линию эпюры обозначают названием и нулевым символом. Слева от нулевой линии указывается название эпюры (эпюра сил, моментов, напряжений и т. п.), справа от нулевой линии ставится цифра «0». При указании называния эпюры обычно используют символ изображаемой нагрузки, например, внутренние продольные силы чаще всего обозначаются буквой «N», поперечные – буквой «Q», эпюры изгибающих моментов – буквами «Mиз», эпюры вращающих моментов – буквами «Т» или «Mкр», эпюры напряжений – буквами «σ» или «τ» и т. п. Рядом с буквенным названием эпюры (или под ним) указывается единица измерения (ньютон, мегапаскаль, мм и т. п.).
Следующий этап построения эпюры – определение границ силовых участков бруса, т. е. таких участков, где внутренний силовой фактор в сечениях или деформация бруса изменяются по одной закономерности (или остаются постоянными). Как правило, границами силовых участков являются сечения, где приложена внешняя нагрузка или (и) площадь поперечного сечения бруса изменяется. В некоторых случаях, при построении эпюр брусьев сложной объемной формы, границы участков определяют аналитически. Границы силовых участков обозначаются тонкими вертикальными линиями, проведенными от изображения бруса через все эпюры.
Для оптимальной наглядности графика эпюры важно правильно выбрать масштаб изображаемого силового фактора, напряжения или деформации. Если масштаб окажется слишком мелким – эпюра будет трудна для чтения и анализа, если слишком крупным – она займет много места на чертеже.
Если учесть, что для одного бруса выполняют, как правило, несколько эпюр, расположенных одна под другой, то крупный масштаб не позволит выполнить построение эпюр на одном листе.
Для правильного выбора масштаба эпюры предварительно следует просчитать значение отображаемого фактора по всем контрольным сечениям бруса, и после этого определиться с масштабом.
Если, например, в результате расчетов окажется, что вся эпюра займет положительную область (над нулевой линией), то при построении графика эпюры это следует учесть.
Положительные значения фактора откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз. Если на каком-либо участке силовой фактор равен нулю, эпюра совпадает с нулевой линией по всей длине этого участка. После построение внешнего контура эпюры на контрольных сечениях проставляются значения фактора (обычно на внешних углах эпюры), при этом знак фактора (плюс или минус) не указываются.
На положительной области (в самой широкой части) ставится знак «+» в кружке, а на отрицательной области – знак «—» в кружке (см. примеры построения эпюр). Иногда знаки «+» и «—» на эпюре указываются сверху и снизу цифры «0» (справа нулевой линии), тогда на площади графика эпюры эти знаки (в кружках) не ставятся.
По окончании построения эпюры по ее площади проводят тонкие вертикальные линии через равные промежутки. Эти линии символизируют сечения бруса. Иногда, в случае построения сложной пространственной эпюры, линии выполняют не вертикально, а в соответствии с проекционным направлением участка на графике эпюры.
***
Определение знака фактора на эпюре
При построении эпюр внутренних силовых факторов или деформаций необходимо правильно определять знак фактора на данном силовом участке бруса. Для этого следует пользоваться следующими общепринятыми правилами:
- сжимающая продольная нагрузка считается отрицательной, растягивающая – положительной;
- поперечная сила Q, направленная вниз считается отрицательной, вверх – положительной;
- вращающий (крутящий) момент считается положительным, если он вращает «отсеченную» часть бруса против часовой стрелки, отрицательным – по часовой;
- эпюра изгибающих моментов строится в соответствии с «правилом дождя». Это правило используется следующим образом: если в результате деформации от изгибающего момента исследуемое сечение прогнулось вниз, значит, эпюра имеет положительное значение (образовалась «воронка», в которой может задерживаться «дождевая вода»); если же балка прогнулась вверх, то эпюра имеет отрицательное значение («вода» будет скатываться с балки). Более подробно о знаках эпюр поперечных сил и изгибающих моментов здесь.
***
Особенности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Для облегчения построения эпюр и контроля правильности графика следует запомнить ряд правил, вытекающих из теоремы Журавского:
На участке, где равномерно распределенная нагрузка q отсутствует, эпюра поперечных сил Q представляет собой прямую линию, параллельную нулевой линии (оси бруса), а эпюра изгибающих моментов Mиз – наклонную прямую.
В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть ступенчатый скачок на величину этой силы, а на эпюре Mиз – излом (изменение направления графика).
На участке действия равномерно распределенной нагрузки q эпюра Q представляет собой наклонную прямую, а эпюра Mиз – параболу, обращенную выпуклостью навстречу стрелкам, изображающим направление распределенной нагрузки.
Если эпюра Q на наклонном участке в каком-либо сечении пересекает нулевую линию эпюры, то в этом сечении на